Deje $B_t$ ser el estándar de movimiento Browniano proceso, $a > 0$, y deje $H_a = \inf \{ t : B_t > a \}$ ser un tiempo de parada. Quiero demostrar que la transformada de Laplace de $H_a$ es $$\mathbb{E}[\exp(-\lambda H_a)] = \exp (-\sqrt{2\lambda} H_a)$$ teniendo en cuenta la martingala $$M_t = \exp \left(\theta B_t -\frac{1}{2}\theta^2 t\right)$$
Es obvio que el argumento a seguir aquí: suponiendo que la opcional de frenado teorema se aplica, tenemos $$1 = \mathbb{E}[M_{H_a}] = \mathbb{E} \left[ \exp \left(\theta a - \frac{1}{2}\theta^2 H_a\right) \right] = \exp(\sqrt{2\lambda} a) \mathbb{E} \left[ \exp(-\lambda H_a) \right]$$ donde $\theta = \sqrt{2\lambda}$. Esto es exactamente lo que quería demostrar. Sin embargo, como lo que puedo decir, la hipótesis de la opcional de frenado teorema son no satisfecha aquí. Aquí está la declaración que yo tengo:
Si $(X_n)$ es una martingala y $T$ es un un.s. delimitado el tiempo de parada, a continuación,$\mathbb{E}[X_T] = \mathbb{E}[X_0]$.
Yo creo que no todo está perdido aún. $M_t > 0$ todos los $t$, por lo que la martingala teorema de convergencia se aplica, y $M_t \to M_\infty$.s. para algunos variable aleatoria integrable $M_\infty$. Para cada $t$, $H_a \wedge t = \min \{ H_a, t \}$ es un almacén de tiempo de parada, así que sin duda $\mathbb{E}[M_{H_a \wedge t}] = \mathbb{E}[M_0]$. Pero, $$\mathbb{E}[M_{H_a \wedge t}] = \mathbb{E}[M_{H_a} \mathbf{1}_{\{H_a \le t\}}] + \mathbb{E}[M_t \mathbf{1}_{\{H_a > t\}}]$$ y claramente lo que se quiere hacer es tomar $t \to \infty$ en ambos lados. Pero aquí es donde me quedo atascado: estoy seguro de que necesito un teorema de convergencia en orden a la conclusión de que la ecuación sigue siendo válida en el límite.
Ahora, $0 < M_{H_a} = \exp \left(\theta a - \frac{1}{2} \theta^2 H_a \right) \le \exp(\theta a)$, por lo que el teorema de convergencia dominada se aplica, y así $$\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}[M_{H_a} \mathbf{1}_{\{H_a \le t\}}] = \mathbb{E}[M_{H_a} \mathbf{1}_{\{H_a < \infty\}}]$$ y creo Fatou del lexema me da que $$\liminf_{t \to \infty} \mathbb{E}[M_t \mathbf{1}_{\{H_a > t\}}] \ge \mathbb{E}[M_{\infty} \mathbf{1}_{\{H_a = \infty\}}]$$ pero creo que lo que necesito es el de la igualdad $$\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}[M_t \mathbf{1}_{\{H_a > t\}}] = \mathbb{E}[M_\infty \mathbf{1}_{\{H_a = \infty\}}]$$ y por lo que puedo decir que ni la monotonía teorema de convergencia ni el teorema de convergencia dominada se aplica aquí. Hay algo que yo pueda hacer para rescatar a esta línea de pensamiento?
