¿Cuál es la conexión entre un vector de fila y un vector covariante (o columna y contravariante)?

Question

Este video de youtube por Eugene Khutoryansky hace clara la distinción entre la covariante de las coordenadas de un vector producto escalar del vector con cada uno de los vectores de la base o vector de proyección), y el contravariante de coordenadas (ley del paralelogramo):

Es allí una manera de explicar a una persona laica que esto de alguna manera se sustenta en el hecho siguiente:

Covariante vectores son representables como vectores fila. Contravariante vectores son representables como vectores columna.

?

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Me gustaría saber, por ejemplo, si la idea lleva más allá de ser capaz de calcular la longitud de un vector en un no-coordenadas Cartesianas como el producto escalar de sus covariante y contr$avariant expresiones:

$$ \lVert V\rVert ^2=\begin{bmatrix} V_X & V_Y & V_Z\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} V^X \\ V^Y\\ V^Z\end{bmatrix}.$$

En una curvilínea sistema es de suponer que el contravariante vectores de la base sería tangencial, mientras que la covariante vectores de la base iba a ser ortogonal a las coordenadas:

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A propósito del primer comentario, y si puede ser confirmado (como un bono), covariante de los vectores de covectors o vectores duales, mientras que contravariante vectores son sólo los vectores.

Answer 1

Puede representar "contravariante de vectores" como filas y "vectores covariantes" como todas las columnas a la derecha si quieres.

Es sólo una convención. El espacio dual del espacio de vectores columna puede ser, naturalmente, identificado con el espacio de vectores fila, debido a la multiplicación de la matriz puede, a continuación, corresponden a la "vinculación" entre un "vector covariante" y un "vector contravariante".

Recuerde que "covariante vectores" se definen como valores escalares lineal de mapas en el espacio de "contravariante de vectores", así que si $\omega$ es un vector covariante y $v$ es un vector contravariante, a continuación, $\omega(v)$ es un número real que depende linealmente en tanto $v$$\omega$. Si usted hace $v$ corresponde a un vector de columna, y hacer $\omega$ corresponde a un vector de fila, a continuación, $$ \omega(v)=\omega v=(\omega_1,...,\omega_n)\left(\begin{matrix}v^1 \\ \vdots \\ v^n\end{matrix}\right)=\omega_1v^1+...+\omega_nv^n. $$

Si $\omega$ fue la columna en su lugar, a continuación, por encima de la multiplicación de la matriz sería como $\omega(v)=v\omega$, la cual no se vería como estéticamente agradable, como estamos acostumbrados a mostrar el argumento de una función a la derecha de la función, y en este caso $v$ es el argumento.