¿Por qué la convolución se convierte en multiplicación al tomar la transformada de Fourier?

Question

¿Por qué si tengo una convolución y tomo la transformada de Fourier, se convierte en una multiplicación?

Answer 1

Básicamente, esto se debe a que los modos de Fourier son funciones propias de los operadores de traslación: $$\underbrace{e^{ik(x-p)}}_{\text{translated function}} = \underbrace{e^{-ipk}}_{\text{scalar}} ~ \underbrace{e^{ikx}}_{\text{original function}}.$$ Un operador de convolución se construye a partir de sumas o integrales de operadores de traslación, por lo que los modos de Fourier también diagonalizan los operadores de convolución. El análogo del espacio de funciones de una matriz diagonal es un operador de multiplicación.

Precisar esto requiere algún análisis funcional, pero esta es la idea básica y la intuición correcta.

Answer 2

Suponiendo que todo converge absolutamente, con el cambio de variable $y = t-x$ : $$\mathcal{F}[g(x)](\xi)\ \mathcal{F}[h(x)](\xi) = \left(\int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2i \pi\xi x}dx\right)\left( \int_{-\infty}^\infty h(x) e^{-2i \pi\xi x}dx\right)$$ $$= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x) h(y) e^{-2i \pi\xi x}e^{-2i \pi\xi y}dxdy= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x) h(t-x) e^{-2i \pi\xi x}e^{-2i \pi\xi (t-x)}dxdt$$ $$ = \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty g(x) h(t-x) dx\right)e^{-2i \pi\xi t} dt=\mathcal{F}[g\ast h(x)](\xi)$$

La dirección opuesta necesita el teorema de inversión de Fourier, con $G(\xi) = \mathcal{F}[g(x)](\xi), H(\xi ) =\mathcal{F}[h(x)](\xi)$ y como la transformada de Fourier inversa es esencialmente el mismo operador que la transformada de Fourier, significa que $$g \ast h(x) = \mathcal{F}^{-1}[G(\xi)H(\xi)](x) \quad \implies \quad G \ast H(\xi) = \mathcal{F}[g(x) h(x)](\xi)$$

Answer 3

La transformada de Fourier es la descomposición de una señal como una suma de sinuoides.

Cuando conviertes dos sumas de este tipo, por el principio de superposición obtienes una doble suma de sinusoides convalidadas. Por ortogonalidad, las convoluciones individuales equivalen a deltas de Dirac (modulados por el desplazamiento de fase). Por tanto, la descomposición de Fourier de una convolución viene dada por el producto de los coeficientes en los que coinciden las frecuencias.

Informalmente, para cada componente de la primera señal $$a_ie^{i\omega t}*\sum_j b_je^{j\omega t}=\sum_j a_i b_j(e^{i\omega t}*e^{j\omega t})=\sum_j a_ib_j\delta_{ij}=a_ib_i.$$

(Los resúmenes se entienden en un sentido amplio).