integral de la función compleja $1/\cos(1/z)$

Question

Estoy buscando $\underset{|z|=1}{\oint}\frac{1}{\cos\left(\frac{1}{z}\right)}dz$ Pude hacer lo siguiente: $$\underset{|z|=1}{\oint}\frac{1}{\cos\left(\frac{1}{z}\right)}dz=\underset{|z|=1}{\oint}\frac{1}{\cos\left(\overline{z}\right)}dz=\underset{|\overline{z}|=1}{\oint}\overline{\frac{1}{\cos\left(z\right)}}dz$$

Pero me quedé atascado aquí, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

\begin{align} w & = 1/z \\[8pt] dw & = -1/z^2 \, dz \\[8pt] \frac{-dw}{w^2} & = dz \end{align}

$$ \int_\text{circle} \frac{1}{\cos\frac1z}\,dz = -\int_\text{circle} \frac{1}{\cos w} \left(\frac{-dw}{w^2}\right) . $$ (El círculo se recorre en sentido contrario; de ahí el primer signo menos).

El residuo de $1/w^2$ en $w=0$ es $0$ y por lo tanto debe obtener $2\pi i$ veces $1/\cos 0$ veces eso.

Answer 2

1) Encuentra los polos dentro del círculo unitario

que significa que tienes que encontrar las raíces de:

$\cos (\frac{1}{z})=0$ , $|z| \leqslant 1$

2) Encuentra el residuo en cada polo del interior $|z| \leqslant 1$

para polos simples (multiplicidad=1) :

$\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z)$

para cualquier polo (multiplicidad=n):

$\mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right)$

3) Utilice $\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}( f, a_k )$

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Si no es un polo, sabrás qué tipo de singularidad es cuando hagas el límite o cuando hagas la expansión en serie de Laurent.

Algo me dice que tiene una singularidad esencial cuando z=0 (cuando se divide por 0).

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Serie de Laurent de esta función en z=0

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Tienes muchos polos pero no un infinito en $|z| \leqslant 1$

cos(1/z)==0