Importancia del principio fronteridad uniforme

Question

He oído que el acotamiento uniforme principio de análisis funcional es un resultado importante.

El teorema es la siguiente:

Deje $X$ ser un espacio de Banach y $Y$ una normativa espacio vectorial. Deje $F$ ser una colección de continuo lineal de operadores de $T:X\to Y$ y supongamos que $\sup_{T\in F}\|T(x)\|< \infty$ todos los $x\in X$, luego

$$\sup_{T\in F}\|T\|=\sup_{T\in F, \|x\|=1}\|T(x)\|<\infty.$$

Ahora, ¿cuál es la importancia de este resultado? Yo realmente no puedo entender por qué este principio es tan importante como he visto que la gente dice.

Mi pregunta aquí es: ¿por qué es este principio tan importante, y ¿cuáles son las principales consecuencias importantes?

Answer 1

Uniforme de Acotamiento Principio, a veces llamado de Banach-Steinhaus Teorema, es uno de los tres "piedra angular" teoremas en el análisis funcional; los otros dos son el de Hahn-Banach y Teorema de la Asignación Abierta Teorema. (Tenga en cuenta que UBP y OMT cada uso de la Categoría de Baire Teorema de sus pruebas.) Como el cobre.el sombrero se mencionó anteriormente, se establece que, para mostrar $\sup_T\|T\|<\infty$, uno sólo necesita demostrar que $\sup_T\|Tx\|<\infty$ para algunos arbitraria $x$.

Así que, ¿qué hace que sea una piedra angular resultado? Bueno, es algo que pasa todo el tiempo en una gran variedad de pruebas de otros resultados poderosos. Por ejemplo, se utiliza para demostrar que si una base de Schauder es subsymmetric (resp. simétrica), entonces es uniformemente subsymmetric (resp. simétrica). También se utiliza para demostrar que si un operador lineal es compacto, entonces también lo es su adjunto. Un UBP argumento muestra que cualquier débilmente convergente es la secuencia de la norma acotada, la Gelfand espectral de radio fórmula $r(T)=\lim\|T^n\|^{1/n}$, Etc.

Sería poco práctico para compilar una lista completa, pero los ejemplos anteriores son algunas de las buenas que de inmediato vienen a la mente.