Transformaciones de Laplace en ecuaciones diferenciales

Question

Utilizando transformaciones de Laplace resuelve la ecuación diferencial $$y''+3y'-17y=e^{-3x}$$ $$y(0)=4 , y'(0)=7$$

Tengo algunos problemas para entender el concepto básico y ver un ejemplo hecho estoy seguro que aclarará alguna confusión.

Answer 1

Tenemos:

$$\mathcal{L}\{y''+3y'-17y=e^{-3x}\} = (s^2 y(s) - sy(0)-y'(0)) + 3 (sy(s) - y(0)) -17 y(s) = \dfrac{1}{s+3}$$

con: $y(0)=4, y'(0)=7$

Sustituir por los CI, resolver para $y(s)$ y luego hallar la Transformada de Laplace inversa.

Tenemos:

$$y(s) = \dfrac{4 s^2+ 31 s + 58}{(s+3) (s^2+3s-17)}$$

Ahora podemos escribir esto usando fracciones parciales como:

$$y(s) = -\dfrac{1}{17 (s+3)}+\dfrac{69s+323}{17 (s^2+3s-17)}$$

Ahora, sólo tienes que tomar $\mathcal{L^{-1}}\{y(s)\} = y(t)$ .

¿Puedes seguir desde aquí?