Un isomorfismo en álgebra

Question

Supongamos $S$ es conmutativa, proyectiva, $R$-álgebra de finito tipo ($R$ un anillo). Queremos mostrar que, si $M$ cualquier $S$-módulo, entonces existe un isomorfismo canónico: $$ Hom_{S\otimes_R S}(S \otimes_R M,M\otimes_R S)\to Hom_{S\otimes_R S}(End_R(S), End_R(M))$$ given by $f\mapsto\tilde{f}$ where, if $f(1\otimes m)=\sum_i t_i\otimes m_i$ then $\tilde{f}(s\otimes\varphi)(m)=\sum_i sm_i\varphi(t_i)$. Note that we are using the well known fact that $End_R(S)\cong S\otimes_R S^\ast$.

Todavía estoy atascado tratando de probar la inyectividad, pero creo que tanto la inyectividad y la surjectivity a seguir, desde el hecho de que, siendo $S$ proyectiva y de finito tipo, cada elemento de a $s\in S$ puede ser escrito como $s=\sum_{i=1}^n \psi_i(s)s_i $ (tenga en cuenta que la suma es finita!) donde el $s_i$'s y el $\varphi_i$'s no dependen $s$. Me podrían ayudar con eso? Gracias.

Answer 1

En primer lugar, usted puede simplemente un poco los conjuntos que están trabajando con : si $A$ es un anillo conmutativo, $B$ un anillo, $M$ $B$- módulo de e $P$ $A\otimes B$- módulo, hay un isomorfismo de $A\otimes B$-módulos de entre $Hom_{A\otimes B}(A \otimes M, P)$$Hom_B(M,P)$.

Así que en el caso de que usted está buscando en el isomorfismo canónico $Hom_S(M,M\otimes_R S)\to Hom_S(S^*, End_R(M))$

dado por $f \mapsto \tilde{f}$ donde si $f(m) = \sum_i m_i \otimes t_i$$\tilde{f}(\varphi)(m) = \sum_i \varphi(t_i) m_i$.

Si $S$ es un proyectiva $R$-módulo, hay un inyectiva mapa de $\pi : S \to R^n$ Denotar por $\pi_k : S \to R$ $k$- ésima coordenada. Para cada $m$, $(id\otimes \pi) \circ f (m) = \sum \tilde{f}(\pi_k)(m) \otimes e_k$

Supongamos $\tilde{f} = 0$. A continuación,$(id\otimes \pi) \circ f (m) = 0 \in M \otimes R^n$, lo $f(m) = 0 \in M \otimes S$. Esto es cierto para cada $m \in M$, lo $f = 0$.

Ahora no sé cómo demostrar que este canónica de morfismos es surjective en general, aunque usted puede encontrar una relación inversa al $S$ es un servicio gratuito de $R$módulo de : Si $(s_1 \ldots s_n)$ es una base para $S$, e $(s_i^* \ldots s_n^*)$ es su base dual, definir $\hat{f}(m) = \sum f(s_i^*)(m) \otimes s_i$.

Entonces es sencillo comprobar que $\bar{\hat{f}} = f$ $\hat{\bar{f}} = f$