¿Hay a veces sólo un número finito de raíces cuadradas de una matriz positiva?

Question

Pregunta: Una matriz positiva (semi) definida tiene una única raíz cuadrada positiva (semi) definida. ¿Cuáles son sus otras raíces cuadradas? En algunos casos hay infinitas (como en el caso de $aI$ ). ¿Existen casos en los que hay un número finito?

En [esta][1] cuestión se demuestra que la matriz identidad tiene infinitas raíces cuadradas (aunque por supuesto tiene una única raíz cuadrada positiva). Pero no parece abordar la cuestión general de las raíces cuadradas de un operador positivo. El comportamiento de la clase de matrices 

$$\left( \begin{matrix} \sqrt{a} & t \\ 0 & -\sqrt{a} \end{matrix} \right)$$

como raíces cuadradas de $aI$ parece deberse a la "fusión" de los $-\sqrt{a}$ y $\sqrt{a}$ eigenspaces al cuadrar. Esto podría sugerir que para una matriz positiva con valores propios distintos, sólo hay $2^r$ raíces cuadradas, con $r$ ¿el rango de la matriz?

Ideas: Una cosa que podría acotar: si una matriz es normal, ¿todas sus raíces cuadradas serán normales, o no necesariamente? Si sabemos esto, podemos pasar directamente a trabajar con los valores propios.

  [1]: En un espacio vectorial de dimensión finita un operador positivo puede tener infinitas raíces cuadradas   [2]: https://math.stackexchange.com/questions/558072/how-many-square-roots-not-necessarily-positive-does-a-positive-matrix-have

Answer 1

Tienes razón. Para ser precisos, lo tenemos:

Reclamación: Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz semidefinida positiva con valores propios $a_1\ge \dots\ge a_n$ .

(i) Si $a_i=a_j$ para algunos $i\ne j$ entonces $A$ tiene incontables raíces cuadradas.

(ii) Si $a_1>\cdots>a_n>0$ entonces $A$ tiene $2^n$ raíces cuadradas.

(iii) Si $a_1>\cdots>a_n=0$ entonces $A$ tiene $2^{n-1}$ raíces cuadradas.

Esbozo de prueba: El caso (i) se ha mostrado en el cuerpo de su pregunta, así que supongamos que $a_1>\cdots>a_n$ . Desde $A$ es unitariamente diagonalizable, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $A={\rm diag}\{a_1,\dots,a_n\}$ . Dejemos que $Q$ sea alguna raíz cuadrada de $A$ . Desde $AQ=QA$ y $a_1>\cdots>a_n$ podemos ver que $Q$ debe ser diagonal. Entonces se dan los casos (ii) y (iii).