Pregunta:
Dejemos que $C^{'}[0,1]$ y $C[0,1]$ estar dotado de la norma sup. Definir $T:C^{'}[0,1]\to C[0,1]$ por $$Tf=f^{'}\text{ for each }f\in C^{'}[0,1]$$ Dónde, $'$ , indica diferenciación.
Demostrar que $T$ es un mapa lineal con gráfico cerrado pero no está acotado.
$Proof:$
Para la linealidad:
Dejemos que $f_{1}$ , $f_{2}\in C^{'}[0,1]$ $\alpha,\beta$ escalares, entonces $$T(\alpha f_{1}+\beta f_{2})=(\alpha f_{1}+\beta f_{2})^{'}=\alpha f_{1}^{'}+\beta f_{2}^{'}=\alpha Tf_{1}+\beta Tf_{2}.$$
Para los más cercanos a $T$ ,
Dejemos que ${f_{n}}$ sea una secuencia en $C^{'}[0,1]$ tal que $f_{n}\to f$ y $Tf_{n}=f_{n}^{'}\to y$ . Entonces
$\|Tf_{n}-y\|=\sup_{t\in [0,1]}|T(f_{n})(t)-y(t)|=\sup_{t\in [0,1]}|T(f_{n}^{'})(t)-y(t)|\to 0$ como $n\to \infty$
Así, la convergencia es uniforme y $y(t)=\lim_{n\to \infty}f_{n}^{'}(t)$ . Como la convergencia es uniforme $f^{'}(t)=y(t)$ para todos $t\in [0,1]$ . Así, $f\in C^{'}[0,1]$ y $Tf=y$ así que $T$ está cerrado.
Para mostrar $T$ no está acotado, toma $f_{n}(t)=t^{n}$ entonces $\|f_{n}\|=\sup_{t\in [0,1]}|t^{n}|=1$ y $f^{'}_{n}(t)=nt^{n-1}$ para que $\|Tf_{n}\|=\sup_{t\in [0,1]}|nt^{n-1}|=n$ .
Así, $T$ no está acotado. Esto implica $T$ no es continua.
Mi pregunta es si este ejemplo contradecir ¿el teorema del gráfico cerrado? Que dice: Si se tienen dos espacios de Banach $X$ y $Y$ y $T$ un mapa lineal de $X$ a $Y$ tal que el gráfico de $T$ está cerrado. Entonces $T$ es continua.
