Coin Flips y pruebas de hipótesis

Question

He aquí un problema, pensé que no sé cómo acercarse a:

Usted tiene una moneda que se mantenga un tirón. Después de cada lanzamiento, realizar una prueba de hipótesis basada en todos los coin flips hasta ahora, con un nivel de significación del $\alpha$, donde la hipótesis nula es que la moneda es justo y su hipótesis alternativa es que la moneda no es justo. En términos de$\alpha$, ¿cuál es el número esperado de lanzamientos antes de que la primera vez que se rechaza la hipótesis nula?

Edición basada en el comentario de abajo: ¿Para qué valores de $\alpha$ es la respuesta a la pregunta anterior finito? Para aquellos valores por los que es infinito, ¿cuál es la probabilidad de que la hipótesis nula nunca será rechazado, en términos de $\alpha$?

Edit 2: Mi post fue editado para decir "Usted cree que usted tiene una feria de la moneda". La moneda está en el hecho de feria, y usted lo sabe. Hacer las pruebas de hipótesis, de todos modos. De lo contrario, el problema es inaccesible debido a que usted no sabe que la probabilidad de que cualquier particular tirar de venir de una determinada manera.

Answer 1

EDIT: Esta respuesta fue claro para la OP en la primera, así que traté de hacer más claro a través de un nuevo enfoque. Al parecer, surgió una legítima duda, lo he intentado ahora para poner ambas respuestas juntos y aclarar aún más. (Todavía puedo estar equivocado, pero voy a tratar de expresarme mejor)

Lo que usted busca, es el número esperado de lanzamientos antes de hacer un Tipo I error de rechazar ($H_0$ cuando es verdad). La probabilidad de que, precisamente, es $\alpha$ (que es otra forma de definirlo).

Por lo $P(Type\ I\ error)=\alpha$.

Deje $X_n$ ser el caso de rechazar $n^{th}$ ensayo.

Ahora, $E[X_1]=\alpha$ representa el número esperado de juegos (un juego está empezando a probar en la forma de hacer una nueva moneda) donde $H_0$ fue rechazado en el primer lanzamiento. $E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]$ es el número esperado de juegos donde $H_0$ es rechazado, ya sea en el primer o el segundo tiro. Tenga en cuenta que con la mayoría de las $\alpha$ este será inferior a $1$, por lo que la expectativa para un solo juego no es rechazar $H_0$ todavía.

¿Cuándo tenemos que esperar a que han rechazado $H_0$? Precisamente cuando la cantidad de juegos en los que rechazamos $H_0$$1$. Por lo tanto, buscamos $n$ como $$ E[X_1+X_2+...+X_n]=1\\ E[X_1+X_2+...+X_n]=E[nX_1]=nE[X_1]=n\alpha=1\\ n=\frac{1}{\alpha} $$

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La otra respuesta dice así: Deja que la variable $T$ contar el número de pruebas antes de rechazar. Buscamos $E[T]$.

Además, el uso de la notación anterior, $P(X_n)=\alpha(1-\alpha)^{n-1}$ (soy consciente de que esto implica la independencia entre los eventos de $X_n$$X_{n-1}$, pero ya estoy buscando el valor esperado, por la linealidad del Valor Esperado, no debería ser un problema, aunque soy consciente de que no estoy siendo educado con la notación).

$$E[T] = \sum_{n=1}^{\infty}nP(X_n) = \sum_{n=1}^{\infty}n\alpha(1-\alpha)^{n-1}= \alpha\sum_{n=1}^{\infty}n(1-\alpha)^{n-1}=\\ \alpha\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(1-\alpha)^{n}= \alpha(\sum_{n=0}^{\infty}n(1-\alpha)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}(1-\alpha)^{n}) = \alpha(\frac{1-\alpha}{\alpha^2}+\frac{1}{\alpha}) \\ E[T]=\frac{1}{\alpha} $$