¿Por qué esto es injustificado?
$$\sum_{n=1}^\infty 1$ $$$= \sum_{n=1}^p 1 +\sum_{n=p+1}^{p+p^2} 1 + \sum_{n=p+p^2+1}^{p+p^2+p^3} 1 + \cdots$ $$$=p+p^2+p^3+\cdots$ $$$ = \frac{p}{1-p}$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mientras que la segunda "=" es cierto, en general, si "+..." es interpretado correctamente), y la tercera "=" es verdadera con respecto a la $p$-ádico métrica, la primera "=" carece de justificación. Sería algo de "infinito asociatividad de la ley", que simplemente no existe si la serie no es convergente.
Para ver las cosas más claras, recuerde que la convergencia de una serie de $\sum a_n$, por definición, significa la convergencia de la secuencia de sumas parciales $s_n = \sum_{1}^n a_i$. Ahora, en este ejemplo, $s_n =n$, lo que, obviamente, no convergen en ningún $p$-ádico métrica. Sin embargo, usted hábilmente vio una larga $s_p, s_{p+p^2}, s_{p+p^2+p^3}, ...$ que converge $p$-adically a $\frac{p}{p-1}$. Ahora si la secuencia de $s_n$ hizo convergen, entonces sería convergen al mismo límite, pero no , simplemente pasa a tener esta limpia convergente larga.
