Puede $\sum_{k\in M}\frac{1}{k}$ ser un entero grande?

Question

Estoy interesado en la siguiente pregunta:

Dado un entero $n_0$. Hay siempre un número entero $n>n_0$ y un finito subconjunto $M\subset \mathbb N$$\sum_{k\in M}\frac{1}{k} = n$.

Esta no es una tarea problema, no sé si hay una solución fácil. Agradezco cualquier sugerencia.

Answer 1

Sí, es cierto: dado cualquier número racional positivo $n$, existe un conjunto finito $M\subset\Bbb N$ tal que $\sum_{k\in M} \frac1k = n$.

Quizás la más sencilla prueba es ésta: puesto que la serie armónica diverge, no existe una única $m\in\Bbb N$ tal que $$ \sum_{k=1}^m \frac1k \le n < \sum_{k=1}^{m+1} \frac1k. $$ (Si $n$ es pequeña, $m$ podría igualdad de $0$.) Escribir $r=n-\sum_{k=1}^m \frac1k$, que es un número racional menor que $\frac1{m+1}$. A continuación, utilice el algoritmo voraz para escribir $r$ como un Egipcio fracción $\sum_{k\in M_r} \frac1k$. Por consideraciones de tamaño, cada elemento de la $M_r$ supera $m$, y por lo $M=\{1,\dots,m\} \cup M_r$ tiene la propiedad de que $\sum_{k\in M} \frac1k = n$.

Construcciones similares pueden producir representaciones de $n$ con restricciones particulares; por ejemplo, uno puede elegir cualquier $j\in\Bbb N$ y la fuerza de todos los elementos de a $M$ a exceder $j$.

Answer 2

Claramente para cualquier $n_0$ existe una (no necesariamente entero) $N$ y un conjunto $S$ tal que $n \le N < n + 1 $ por la divergencia de la serie armónica con: $$ N = \sum_{k \in S} \frac1k $$

Deje $ q = n + 1 - N $. Es bien sabido que existe un número finito de la descomposición de la $q$ en la unidad de fracciones con el único denominador (llame al conjunto múltiple de tal $Q$). El uso de la identidad:

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}$$

podemos hacer que los denominadores en $Q$ más grande que el elemento más grande de $S$. (Debemos tener cuidado de cómo hacer esto, pero claramente es posible.) Desde $Q$ es finito, este proceso termina. Ahora $Q \cup S $ es el que desea establecer con $\sum_{k \in Q \cup S} \frac1k = n + 1$, e $Q \cap S = \emptyset$.

Answer 3

El Erdős–Graham conjetura en combinatoria, teoría de números, se establece que, si la unidad de fracciones se dividen en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos tiene un subconjunto finito de sí mismo cuyo recíprocos suma a uno.

Eso implicaría que podemos escribir cada entero positivo, como suma de fracciones de unidad: se demuestra que se puede construir una secuencia $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de los distintos subconjuntos finitos de $\mathbb N\setminus \{1\}$ tal que $\sum_{i\in A_n} \frac{1}{i}=1$ todos los $n\in\mathbb N$. Construimos la secuencia de inducción: Supongamos $n\ge 1$ dado y $A_1 ,\dots A_n$ estar ya definidos. Nos dividimos cada uno de los $A_i$ en dos conjunto no vacío y definir $$B:=\mathbb N \setminus \left( \{1\} \cup \bigcup_{i=1}^n A_i \right).$$ A continuación, los $2n+1$ juegos son una partición de $\mathbb N\setminus\{1\}$. Por la conjetura $B$ contiene un subconjunto finito $B'$ tal que $\sum_{i\in B'} \frac{1}{i}=1$. Definimos $A_{n+1}:=B'$.

Con el fin de escribir un determinado número entero positivo $n$ como suma de fracciones de unidad simplemente definir $$S:= \bigcup_{i=1}^n A_i $$ y han $$\sum_{i\in S} \frac{1}{i}=n.$$

Answer 4

De acuerdo a este documento , incluso hay una infinidad de números de $n$ que puede ser escrito como suma de fracciones de unidad. Proporciona una divergente límite inferior en el número de $|N(n)|$ de enteros que puede ser escrito como la suma de la unidad de fracciones cuyo denominador es en la mayoría de las $n$.

Otro artículo sobre este tema se puede encontrar aquí. Se establece que la división de algoritmo termina por cada positivos racionales. Esto significa que cada entero positivo admite una representación como la suma de fracciones de unidad.

Estos trabajos muestran que el resultado que estás pidiendo es cierto, pero no sé si hay algún primaria de la prueba de este teorema.