¿Y si $G/M=G/N$ .....?

Question

La pregunta en realidad vino del siguiente problema sobre producto directo y subgrupos normales mínimos :

Deje que $G$ ser un grupo finito y $L$ un subgrupo máximo de $G$ entonces todos los subgrupos normales mínimos $N$ de $G$ que satisfacen $N \cap L = 1$ son isomórficas.

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Mi intento:

Deje que $N,M$ ser dos grupos arbitrarios que satisfagan la condición. Primero, $LN( \text {or }LM)=G$ desde $L$ es máxima, y $N$ no está contenida en $L$ . Luego por uno Teorema del isomorfismo Tenemos $$G/N= LN/N \cong L/(L \cap N)=L;$$

y también $$G/M= LM/M \cong L/(L \cap M)=L.$$

Así que tenemos $G/N \cong G/M$ . $~~ \square $

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Mi pregunta:

Está claro que no podemos inferir $N \cong M$ de $G/N \cong G/N$ pero parece decirnos que $N$ y $M$ tienen el mismo conjunto de factores de composición . (¿Pero cómo? Es precisamente donde me quedé atascado.)

Si eso es cierto, ya que cada subgrupo mínimo normal puede escribirse de manera única como el producto de algunos grupos simples, se obtendrá directamente que los factores de composición (algunos grupos simples) de $M$ y $N$ son todos iguales, y por lo tanto $M \cong N$ .

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P.D: Le pregunté una pregunta similar ayer, y han aceptado la respuesta. Pero me encontré atascado en este punto ahora...... y una solución más elegante a mi problema original si es que la hay, sería muy apreciado!

Answer 1

He aquí una prueba de un resultado ligeramente más general, que no implica series de composición.

Supongamos que el grupo finito $G$ tiene dos subgrupos mínimos normales $M$ y $N$ de tal manera que $G/M \cong G/N$ . Luego $M \cong N$ . (Me pregunto si esto es cierto para grupos infinitos - probablemente no.)

Prueba por inducción en $|G|$ . Es vacuamente cierto que $|G|=1$ porque entonces $G$ no tiene subgrupos normales mínimos.

El resultado es claro si $M=N$ así que supongamos $M \ne N$ . Luego $M \cap N = 1$ por la minimalidad, así que $MN/N \cong M$ y $MN/M \cong N$ .

Ahora el grupo $G/M$ tiene un subgrupo normal mínimo $NM/M$ $(*)$ isomorfo a $N$ con $(G/M)/(NM/M) \cong G/MN$ y de manera similar $G/N$ tiene un subgrupo normal mínimo $MN/N$ isomorfo a $M$ con $(G/N)/(MN/N) \cong G/MN$ . Desde $G/M \cong G/N$ podemos aplicar la inducción a $G/M$ y deducir que $MN/M \cong MN/N$ y por lo tanto que $M \cong N$ .

Es posible que tenga que pensar en la reclamación $(*)$ que $NM/M$ es un subgrupo normal mínimo de $G/M$ . Esto se desprende de $N$ siendo mínimo normal en $G$ .

Answer 2

Considere la serie $$1 \leq M \leq G \mbox { and } 1 \leq N \leq G.$$ Los subgrupos $M$ y $N$ son normales, y $G$ es finito, por lo que la serie puede refinarse a series subnormales (es decir, una serie en la que cada término es normal en el término justo siguiente y el cociente es simple).

Así que hacemos el refinamiento de la siguiente manera:

Desde $G/N \cong G/M$ tenemos un refinamiento para ellos como $$1 \leq M \leq M_2 \leq \cdots M_r=G \mbox { and } 1 \leq N \leq N_2 \leq \cdots \leq N_r=G$$ donde $M_2/M \cong N_2/N$ , $M_3/M_2 \cong N_3/N_2$ y así sucesivamente.

Lo que queda es hacer el refinamiento a continuación $M$ y $N$ por el teorema de Jordan-Holder, la totalidad de los simples-cuotas en ambos refinamientos es la misma (hasta el isomorfismo+ordenamiento).

Pero como los simples factores que vienen de los términos anteriores $M$ y $N$ son iguales con la multiplicidad, se deduce que los factores simples provenientes de los términos de abajo $M$ y $N$ debería ser igual con la multiplicidad.

Espero que esto sea suficiente para darle la idea. Hágamelo saber.