Ejercicios simples o pequeños: $1+o(1)=\exp[o(1)]$ y $o[f(x)g(x)]=o[f(x)]O[g(x)]$

Question

(Soy auto-aprendizaje de estas cosas, como soy nuevo en ellos.)

Probar:

(a) $1+o(1)=\exp[o(1)]$

(b) $o[f(x)g(x)]=o[f(x)]O[g(x)]$

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En primer lugar, entiendo que cada una de estas afirmaciones implica una 2-forma de inclusión por lo que hay que ser de 2 direcciones para cada uno. Es esto correcto? Normalmente, para una declaración de $f(x)=o(\text{something})$, sé que no tiene sentido escribir $o(\text{something})=f(x)$, pero en (a) y (b) anteriores, $o$ e $O$ se muestran en ambos lados creo que estas son las declaraciones acerca de los conjuntos.

Para (a), si $g(x)=o(1)$, luego $$ \log[1+g(x)]=g(x)-\frac{[g(x)]^2}{2}+\frac{[g(x)]^3}{3}-\cdots=o(1)-o(1)+o(1)-\cdots=o(1). $$ Es la última "igualdad" por encima de la correcta y por qué? Me siento incómodo acerca de la adición de un número infinito de "pequeñas" cantidades y afirmar que la suma es también "pequeños". Puedo hacer la dirección inversa, pero no es la misma preocupación.

Para (b), podría usted por favor, compruebe si la idea básica de abajo es la correcta? Una dirección: $$ h(x)=s[f(x)g(x)]\implica que h(x)=\frac{h(x)}{g(x)}g(x)=o(f(x))O[g(x)] $$ donde el último "igualdad" es porque $g(x)=O[g(x)]$ trivialmente. La dirección inversa: $$ h(x)=o(f(x)), k(x)=O[g(x)]\implica\frac{h(x)k(x)}{f(x)g(x)}=\frac{h(x)}{f(x)}\frac{k(x)}{g(x)}\to 0 $$ porque una fracción va a $0$ y el otro es el tiempo acotado. Por lo tanto, $h(x)k(x)=o(f(x)g(x))$.

Answer 1

En primer lugar, es importante tener en cuenta que no hay una utilización coherente para big-oh o poco-oh notación. Pero su interpretación como muestra de que sus declaraciones acerca de los conjuntos es un común y razonable interpretación.

1. Estás en lo correcto a preocuparse por la adición de un número infinito de pequeñas piezas. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ 1 + 1/(2x) + 1/(3x) + 1/(4x) + \cdots \approx 1 + o(1) + o(1) + o(1) + \cdots$$ pero en realidad esto no convergen. Su propuesta de solución para la primera parte de tu post no trabajo por esta razón.

   Con su aplicación en particular, desde la $g(x) = o(1)$, hay algunos $X$ tal que para todos los $x > X$, $\lvert g(x) \rvert < 1/2$. La restricción de a $x > X$, usted tiene que $$ 1 + g(x) - g(x)^2 / 2 \leq \log(1 + g(x)) \leq 1 + g(x),$$ a partir de la cual ahora se deduce que $\log(1 + g(x)) = 1 + o(1)$.

2. La idea básica de la segunda parte de tu post es el correcto.