¿Dimensión de $W_{2}$?

Question

Deje $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -5 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 8 & -3 & -4\\ 3 & -1 & -9 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 2 & -5 & -10\\ 0&-3&-9&5&13\end{bmatrix}$

Ahora vamos a definir el subespacio $W_{1},W_{2}$ de $A$ como sigue -

$W_{1} = \{X \in M_{5 \times 5}| AX = 0\}$

$W_{2} = \{Y \in M_{5 \times 5} | YA =0\}$

Puedo ver que $W_{1}$ es el nullspace de $A$

utilizando el rango de nulidad teorema tengo Nulidad de $A$ como $2$ ya tenemos el rango de la matriz $A$ 3.

Ahora estoy pensando en la dimensión de $W_{2}$?

Como en los comentarios, y sabemos que la fila rango = columna de rango, por lo tanto dim$(W_{2}) = 2$

Pero Ahora estoy pensando en la dimensión de $W_{1} \cap W_{2}$ e $W_{1} + W_{2}$?

Alguna idea?

Answer 1

$W_1$ no es el nullspace de $A$. El nullspace de $A$ es un subespacio de $\mathbb R^5$, mientras que $W_1$ es un subespacio de $\mathbb R^{5\times 5}$. Para calcular la dimensión de $W_1$, tenga en cuenta que si las columnas de a$X$ se $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]$ (donde $x_i\in\mathbb R^5$ para todos los $i$), a continuación, $AX=[Ax_1,Ax_2,Ax_3,Ax_4,Ax_5]$.

Con $W_2$, considerar el hecho de que $YA=0\iff A^\top Y^\top=0$

Answer 2

Veamos primero \begin{align*} W'&= \{X\in M_{5\times 1}; AX=0\}\\ W''&= \{Y\in M_{1\times 5}; YA=0\} \end{align*} En otras palabras nos fijamos en similar ecuaciones pero con la columna/fila vectores en lugar de matrices.

Por un cálculo directo que puede disfrutar de la $\operatorname{rank}A=4$, lo que implica que $\dim(W')=\dim(W'')=1$. También puede calcular que $W'$ es el espacio de la columna de vectores $\vec a=(2,-3,1,0,0)^T$ y que $W''$ es el espacio del vector de fila $\vec b^T=(5,0,-1,-1,2)$.

Si denotamos las columnas de la matriz $X$ como $\vec c_1,\dots,\vec c_5$ entonces tenemos $$AX = A\begin{pmatrix} \vec c_1 & \vec c_2 & \ldots & \vec{c_5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\vec c_1 & A\vec c_2 & \ldots & A\vec{c_5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec 0 & \vec 0 & \ldots & \vec 0 \end{pmatrix}.$$ I. e., cada una de las columnas que se cumple la condición de $A\vec c_i=\vec 0$. Así que podemos ver que las matrices en $W_1$ son precisamente las matrices donde cada columna es un múltiplo de a$\vec a$.

Del mismo modo, obtenemos las filas de la matriz $X\in W''$ la condición de $\vec r_i^TA=\vec 0^T$, e $W_2$ se compone de los matrices donde cada fila es múltiplo de $\vec b$.

Tenemos que \begin{align*} W_1&=\{ \begin{pmatrix} 2a & 2b & 2c & 2d & 2e \\ -3a & -3b & -3c & -3d & -3e \\ a & b & c & d & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}; a,b,c,d,e \in \mathbb R\} \\ W_2&=\{ \begin{pmatrix} 5s & 0 & -s & -s & -2s \\ 5t & 0 & -t & -t & -2t \\ 5u & 0 & -u & -u & -2u \\ 5v & 0 & -v & -v & -2v \\ 5w & 0 & -w & -w & -2w \\ \end{pmatrix}; s,t,u,v,w \in \mathbb R\} \end{align*} Y también vemos que $\dim(W_1)=\dim(W_2)=5$.

Ahora las matrices en la intersección $W_1\cap W_2$ son precisamente las matrices que se puede expresar en dos formas.

$$\begin{pmatrix} 2a & 2b & 2c & 2d & 2e \\ -3a & -3b & -3c & -3d & -3e \\ a & b & c & d & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5s & 0 & -s & -s & -2s \\ 5t & 0 & -t & -t & -2t \\ 5u & 0 & -u & -u & -2u \\ 5v & 0 & -v & -v & -2v \\ 5w & 0 & -w & -w & -2w \\ \end{pmatrix} $$ Esos son precisamente los múltiplos de $$ \begin{pmatrix} 10& 0 &-2 &-2 &-4 \\ -15& 0 & 3 & 3 & 6 \\ 5 & 0 &-1 &-1 &-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ Esta matriz se genera $W_1\cap W_2$. Vemos que $\dim(W_1\cap W_2)=1$.

A partir de la ecuación $$\dim W_1+\dim W_2=\dim(W_1+W_2)+\dim(W_1\cap W_2)$$ podemos calcular que $\dim(W_1+W_2)=9$.