IVP para EDP no lineales $u_t + \frac{1}{3}{u_x}^3 = -cu$

Question

Estoy tratando de resolver las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: $$ u_t + \frac{1}{3}{u_x}^3 = 0 \tag{a} $$ $$ u_t + \frac{1}{3}{u_x}^3 = -cu \tag{b} $$ con el problema de valor inicial $$ u(x,0)=h(x)= \left\lbrace \begin{aligned} &e^{x}-1 & &\text{for}\quad x<0\\ &e^{-x}-1 & &\text{for}\quad x>0 \end{aligned} \right. $$ Mi idea era establecer $v(x,t)=u_x(x,t)$ porque entonces tengo la ecuación de transporte en $v$ que soy capaz de resolver: $v_t + v^2v_x =0$ . Pero cuando hago esto, mi solución para $v$ es $$ v(x,t)= \left\lbrace \begin{aligned} &\phantom{-}ae^{x-v^2 t} & &\text{for}\quad x<0\\ &{-a}e^{-x+v^2 t} & &\text{for}\quad x>0 \end{aligned} \right. $$ ¿Puede alguien ayudarme con esta ecuación? Es $u_x = a e^{x-u_x^2 t}$ ¿la respuesta correcta? ¿O tal vez debería hacer algo muy diferente para resolver esta ecuación?

Answer 1

Ambas ecuaciones (a) y (b) son ecuaciones de Hamilton-Jacobi. De hecho, se derivan de una transformación canónica que implica una función generadora de tipo 2 $u(x,t)$ que hace desaparecer el nuevo Hamiltoniano $$ K = H(x,u_x) + (\partial_t + c)\, u \, . $$ Toma, $H(q,p)=\frac{1}{3}p^3$ es el Hamiltoniano original y $\partial_t + c$ define el operador de diferenciación temporal. Configurando $v=u_x$ tenemos $$ v_t = u_{tx} = -\left(\tfrac{1}{3}{u_x}^3\right)_x - cu_x = -v^2v_{x} - cv \, . $$ Así, consideramos la EDP cuasilineal de primer orden $v_t + v^2v_{x} = -cv$ con datos iniciales $v(x,0) = h'(x) = \pm e^{\pm x}$ para $\pm x<0$ , y aplicamos el método de características :

• $\frac{\text d t}{\text d s} = 1$ , dejando $t(0)=0$ sabemos $t=s$ .
• $\frac{\text d v}{\text d s} = -cv$ , dejando $v(0)=h'(x_0)$ sabemos $v=h'(x_0)e^{-ct}$ .
• $\frac{\text d x}{\text d s} = v^2$ , dejando $x(0)=x_0$ sabemos $x=\frac{1}{2c}h'(x_0)^2(1-e^{-2ct}) + x_0$ .

Inyectar $h'(x_0) = ve^{ct}$ en la ecuación de las características, se obtiene la ecuación implícita $$ v = h'\!\left(x-v^2\frac{e^{2ct}-1}{2c}\right) e^{-ct}\, . $$ A lo largo de las mismas curvas características, tenemos

• $\frac{\text d u}{\text d s} = \tfrac23 v^3 - c u$ , dejando $u(0) = h(x_0)$ sabemos $u = h(x_0) e^{-ct} + \frac23\! \int_0^t e^{-c(t-s)} v(s)^3 \text d s$ .

Así, obtenemos $$ u = \left(h\!\left(x-v^2\frac{e^{2ct}-1}{2c}\right) + h'\!\left(x-v^2\frac{e^{2ct}-1}{2c}\right)^3 \frac{1-e^{-2ct}}{3c} \right) e^{-ct} \, , $$ donde el vínculo entre $x_0$ y $v$ a lo largo de las características. Para tiempos cortos, la solución anterior es válida. El método de las características se rompe cuando las características se cruzan ( tiempo de ruptura ). Utilizamos el hecho de que $\frac{\text d x}{\text d x_0}$ desaparece en el momento de la ruptura $$ t_B = \inf_{x_0\in \Bbb R} \frac{-1}{2 c} \ln\left(1 + \frac{c}{h'(x_0)h''(x_0)}\right) . $$ Sin embargo, parece inútil seguir buscando expresiones analíticas completas en el caso general.

Si $c=0$ las características son líneas rectas $x=x_0+v^2t$ a lo largo de la cual $v=h'(x_0)$ es constante, y a lo largo de la cual $u = h(x_0) + \frac23 v^3 t$ . Un esbozo de la $x$ - $t$ plano se muestra a continuación:

El tiempo de ruptura pasa a ser $t_B = \inf_{x_0} -(2h'(x_0)h''(x_0))^{-1} = 1/2$ . Por poco tiempo $t<t_B$ la ecuación implícita para $v$ lee $v = h'(x-v^2t)$ es decir $v = \pm e^{\pm (x-v^2t)}$ si $\pm(x-v^2t)<0$ . Su solución analítica $$ v(x,t) = \pm\exp\! \left(\pm x- \tfrac{1}{2}W(\pm 2t e^{\pm 2x})\right) \quad\text{for}\quad {\pm (}x-t) < 0 $$ implica la Función W de Lambert . La expresión de $u$ se deduce de $u = h(x-v^2 t) + \frac23 v^3 t$ . Para tiempos más largos $t>t_B$ debe tenerse especial cuidado al calcular soluciones débiles (ondas de choque), ya que el flujo $f:v\mapsto \frac{1}{3}v^3$ es no convexo .