Después de ver el problema de que es más grande de 9^{10} o 10^9 (y eventualmente a trabajar en un par de maneras de responder a eso) me interesé por donde pasa. I. e.
2^3 < 3^2
Pero:
3^4 > 4^3
Así, x^{(x+1)} = ({x+1})^x debe ser un valor de x entre 2 e 3. Naturalmente supuse e, pero que es demasiado alto.
He tratado de tomar los registros de cada lado, a base de x o de la base de x+1 pero sigo acabe atrapado. E. g. x+1 = x \log_x(x+1) y la única cosa que sé hacer con \log(a + b) es convertirlo en un \log(a) + \log(1 + b/a), que no me lleve a nada.
De modo que, siendo un tipo pragmático, he trazado x^{x+1}-({x+1})^x, y empezó a revolcarse en tratando de encontrar una ecuación para que coincida donde se cruza con la x-eje. Esto es realmente cerca - un poco demasiado grande (2.29316638129); cambiar el 7 a 8 y es un poco demasiado pequeño (2.29316607539):
x=e-\left(\frac{1}{e}\right)-\left(\frac{1}{e^3}\right)-\left(\frac{1}{e^5}\right)-\left(\frac{2}{e^8}\right)-\left(\frac{2}{e^{11}}\right)-\left(\frac{2}{e^{13}}\right)-\left(\frac{7}{e^{15}}\right)
Pero esto apesta de más ajustada, no. :-)