Después de ver el problema de que es más grande de $9^{10}$ o $10^9$ (y eventualmente a trabajar en un par de maneras de responder a eso) me interesé por donde pasa. I. e.
$2^3$ < $3^2$
Pero:
$3^4$ > $4^3$
Así, $x^{(x+1)}$ = $({x+1})^x$ debe ser un valor de $x$ entre $2$ e $3$. Naturalmente supuse $e$, pero que es demasiado alto.
He tratado de tomar los registros de cada lado, a base de $x$ o de la base de $x+1$ pero sigo acabe atrapado. E. g. $x+1 = x \log_x(x+1)$ y la única cosa que sé hacer con $\log(a + b)$ es convertirlo en un $\log(a) + \log(1 + b/a)$, que no me lleve a nada.
De modo que, siendo un tipo pragmático, he trazado $x^{x+1}-({x+1})^x$, y empezó a revolcarse en tratando de encontrar una ecuación para que coincida donde se cruza con la $x$-eje. Esto es realmente cerca - un poco demasiado grande (2.29316638129); cambiar el $7$ a $8$ y es un poco demasiado pequeño ($2.29316607539$):
$$x=e-\left(\frac{1}{e}\right)-\left(\frac{1}{e^3}\right)-\left(\frac{1}{e^5}\right)-\left(\frac{2}{e^8}\right)-\left(\frac{2}{e^{11}}\right)-\left(\frac{2}{e^{13}}\right)-\left(\frac{7}{e^{15}}\right)$$
Pero esto apesta de más ajustada, no. :-)
