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¿Cuando x^{x+1}= (x+1)^x?

Después de ver el problema de que es más grande de 9^{10} o 10^9 (y eventualmente a trabajar en un par de maneras de responder a eso) me interesé por donde pasa. I. e.

2^3 < 3^2

Pero:

3^4 > 4^3

Así, x^{(x+1)} = ({x+1})^x debe ser un valor de x entre 2 e 3. Naturalmente supuse e, pero que es demasiado alto.

He tratado de tomar los registros de cada lado, a base de x o de la base de x+1 pero sigo acabe atrapado. E. g. x+1 = x \log_x(x+1) y la única cosa que sé hacer con \log(a + b) es convertirlo en un \log(a) + \log(1 + b/a), que no me lleve a nada.

De modo que, siendo un tipo pragmático, he trazado x^{x+1}-({x+1})^x, y empezó a revolcarse en tratando de encontrar una ecuación para que coincida donde se cruza con la x-eje. Esto es realmente cerca - un poco demasiado grande (2.29316638129); cambiar el 7 a 8 y es un poco demasiado pequeño (2.29316607539):

x=e-\left(\frac{1}{e}\right)-\left(\frac{1}{e^3}\right)-\left(\frac{1}{e^5}\right)-\left(\frac{2}{e^8}\right)-\left(\frac{2}{e^{11}}\right)-\left(\frac{2}{e^{13}}\right)-\left(\frac{7}{e^{15}}\right)

Pero esto apesta de más ajustada, no. :-)

7voto

Adil Mehmood Puntos 182

Usted está jugando con un juguete antiguo :)

La constante que se busca es la llamada Foias-Ewing constante y el valor exacto es:

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Usted puede encontrar más información sobre este número y sus propiedades aquí:

Honestamente yo no sé nada acerca de este número hace 5 minutos. Acabo de Googlear un par de partida dígitos de su número y... ¡voilá! :)

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