Integración con respecto a la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a la función suelo

Question

Para dos medidas diferentes, estoy tratando de identificar $L^1(\mu)$ (el conjunto de funciones integrables, es decir $\{f:\int \lvert f\rvert du<\infty\}$ y tratando de calcular $\int fd\mu$ para $f\in L^1(\mu)$ .

• en $\mathbb R, \mu=\mu_F$ la medida de Lebesgue-Stieltjes con $F(x)=\lfloor x\rfloor$ .

Intentos

• Sé que la medida única derivada de la función suelo mediría el número de enteros entre los puntos finales, o en el conjunto. Pero no estoy seguro de cómo construir sobre eso para utilizar para calcular la integral para un general $f$ o lo que haría una función integrable.

Actualización : $$\int 1_{E}(x)d\mu(x)=\mu(E)=\sum_{n\in\mathbb Z}1_E(n)$$ debe ser cierto para cualquier función característica. Y para que esta integral sea finita, en cualquier conjunto de Borel $E$ , sólo debe haber un número finito de enteros en el conjunto. Pero no estoy seguro de cómo pasar de este punto a las funciones simples, y luego a las funciones en general.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

En su actualización ha identificado correctamente que $\mu=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta_k$ .

Tomemos una función simple $f(x)=\sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}(x)$ tal que $\mu(A_i)<\infty$ para todos $i$ . Su integral se define como $$ \int f\,d\mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i) = \sum_{i=1}^n a_i \sum_{k\in\mathbb{Z}} \delta_k(A_i) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \sum_{i=1}^n a_i \delta_k(A_i) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \sum_{i=1}^n a_i \chi(A_i)(k) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f(k) . $$

Si ahora $f$ es una función de Borel no negativa y $(f_n)$ son funciones simples que convergen monótonamente a $f$ , usted tiene $$ \int f\,d\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k\in\mathbb{Z}} f_n(k) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f(k) $$ por convergencia monótona. Tal función no negativa es integrable si $\sum_{k\in\mathbb{Z}} f(k) < \infty$ .

Por último, si $f=f^+-f^-$ es una función genérica de Borel, pertenece a $L^1(\mu)$ si y sólo si $\int f^\pm\,d\mu < \infty$ y en tal caso tienes $$ \int f\,d\mu = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f^+(k) - \sum_{k\in\mathbb{Z}} f^-(k) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f(k) . $$ Así que $f\in L^1(\mu)$ si $$ \int |f|\,d\mu = \sum_{k\in\mathbb{Z}} |f(k)| < \infty . $$