Evalúe.

Question

Solución

Observe que $$(\forall x \in \mathbb{R})~~e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.$$ Deje $x=n$ donde $n\in \mathbb{N_+}$. A continuación, obtenemos $$e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}+\cdots>\frac{n^n}{n!}.$$ Por lo tanto, obtenemos $$e>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.\tag1$$ Por otra parte, podemos encontrar que, para $k=0,1,\cdots,n-1.$ $$\frac{n^k}{k!}< \frac{n^n}{n!}.$$ Así \begin{align*} e^n&=1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot\left[\frac{n}{n+1}+\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}+\cdots\right]\\ &< (n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot\left[\frac{n}{n+1}+\frac{n^2}{(n+1)^2}+\cdots\right]\\ &=(n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot n\\ &=(2n+1)\cdot \frac{n^n}{n!}, \end{align*} lo que muestra que $$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}>\frac{e}{\sqrt[n]{2n+1}}.\tag2$$ La combinación de $(1)$ e $(2)$, tenemos $$e>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}>\frac{e}{\sqrt[n]{2n+1}}\to e(n \to \infty).$$ Por el teorema del encaje, $$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.$$

Por favor me corrija si estoy equivocado. Muchas gracias.

Answer 1

Usando las sumas de Riemann:

$$ \log\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(\tfrac{k}{n}\right)\to \int_{0}^{1}\log(x)\,dx = -1$ $ por lo tanto, $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ converge a $e$ .

Answer 2

Parece bien otra forma podría ser $$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\exp({\ln n-\frac{\ln n!}{n}})=\exp\left(\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\right)$ $ ( $\exp(x)=e^x$ )

Entonces por continuidad tenemos que $$\lim_{n\to\infty}\exp\left(\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\right)$ $

Ahora puedes encontrar el $\lim$ usando el teorema de Stolz. $$\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n-\ln n!}{n}=\lim_{n\to\infty}(n+1)\ln(n+1)-\ln((n+1)!)-n\ln n+\ln n!=\lim_{n\to\infty}n\ln(n+1)-n\ln n=\lim_{n\to\infty}\ln(1+\frac1n)^n=1$ $ Por lo tanto, todo $\lim$ es igual a $e$

Answer 3

Para el denominador, vuelva a escribirlo como $ e^{\frac{\sum_{k=1}^{n} \log k}{n}}$ y luego aproxime la suma de los registros con la integral ( $n \log n -n) $ para obtener el resultado).

Answer 4

Tienes razón con tu límite $e$ . Usando la fórmula de Stirling, ha puesto $f(n)=\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ , $$\log f(n)=\log n-\frac{n\log n-n+O(\log n)}{n}\Rightarrow \log f(n)-1=\frac{O(\log n)}{n}$$ By definition of Big $ O% #% C$ notation there is some positive constant $ n_0$ and some $ n \ gt n_0 $ tenemos $ such thar for all $$$|\log f(n)-1|\le \frac{C\log n}{n}$ \ log f (n) -1$ Then $ 0$ tends to $ f (n)$ so $ e $ como se muestra.