¿Es la función vacía diferenciable?

Question

Dada la función vacía $\varnothing: \emptyset \to X$ donde $X$ es un conjunto, es $\varnothing$ una función diferenciable? Si es así, ¿cuál es su derivada?

Además, ¿el conjunto vacío es un colector diferenciable? Si es así, ¿cuál es su dimensión?

Answer 1

Sí, el conjunto vacío es un colector liso (¡está cubierto por la colección vacía de gráficos de coordenadas!). Tiene todas las dimensiones. (Es decir, para cualquier $n$ es cierto que $\emptyset$ es un colector de dimensión $n$ . Obsérvese que no existe realmente una definición unificada de "colector", sino una definición separada de "colector de dimensión $n$ " para cada $n$ por lo que no hay nada de malo en que un solo objeto satisfaga la definición para múltiples valores diferentes de $n$ .)

Para cualquier colector liso $X$ la función de vacío $\emptyset\to X$ es suave. Al fin y al cabo, esto sólo significa que da una función suave en cada par de gráficos de coordenadas de un par de atlas sobre el dominio y el codominio, lo cual es vacuamente cierto ya que el conjunto vacío es un atlas para $\emptyset$ . (O, en el contexto de un subconjunto abierto del espacio euclidiano, si consideramos $\emptyset$ como un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^m$ , entonces la función vacía $\emptyset\to\mathbb{R}^n$ es suave porque es infinitamente diferenciable en cada punto del dominio. Su derivada es entonces la función vacía $\emptyset\to \mathbb{R}^{n\times m}$ .)

Answer 2

Sí, la función vacía es diferenciable porque en
cada punto del conjunto vacío, es diferenciable.