Suma de las dos velocidades es menor que la velocidad de la luz

Question

El uso de la transformación de Lorentz de la relatividad especial, tenemos que la suma de dos velocidades, que puede ser expresado como

$$u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}.$$

Dado que $|u'|,|v| \le c$, quiero demostrar que la $|u| \le c$, es decir,. que la velocidad no supera los $c$. Sin embargo, estoy luchando para producir esta obligado. He tratado de acotar el denominador de arriba, pero esto produce cero y han tratado de un caso de sabiduría, pero esto me tiene no se donde.

Answer 1

Con sólo un análisis básico, usted puede hacerlo mediante la fijación de una de las dos variables.

Se puede demostrar que, para un fijo $u'<c$:

1. La función de $f_{u'}(v)=\frac{u'+v}{1+\frac{u'}{c^2}v}$ es una función monótonamente creciente.
2. $f_{u'}(c)=c$

De $1$, se puede concluir que si $v<c$, $f_{u'}(v)<f_{u'}(c)$,e incluyendo $2$, que le da $f_{u'}(v)<c$.

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Esto demuestra que si $u',v$ son tanto más pequeño que $c$que $\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}$ también será menor que $c$.

Answer 2

Tal suma relativista de velocidades (denotada aquí como <span class="math-container">$\oplus$</span>) puede escribirse en términos de un simple retroceso: <span class="math-container">%#% $ #%</span> <span class="math-container">$$ u\oplus v\stackrel{\text{def}}{=}c\cdot\tanh\left(\text{arctanh}\tfrac{u}{c}+\text{arctanh}\tfrac{v}{c}\right)$</span> es una función creciente con rango <span class="math-container">$\tanh$</span> <span class="math-container">$(-1,1)$</span> sigue inmediatamente.

Answer 3

Aquí está una primaria de la prueba que evita funciones trascendentes.

Dejando $x=u'/c, y = v/c, z = u/c$ la ecuación de Einstein de la suma se convierte en

$$z = \frac{x+y}{1+x y}\tag{1}$$

y tenemos que demostrar que

$$-1\lt z \lt 1\tag{2}$$

para $-1\lt x \lt 1, -1 \lt y \lt 1$.

Ahora nos vamos a

$$x\to \frac{1-r}{1+r},y\to \frac{1-s}{1+s}\tag{3a}$$

o

$$r \to \frac{1-x}{1+x}, s\to \frac{1-y}{1+y}\tag{3b}$$

que transforma $x\in (-1,+1)$ a $r \in (\infty, 0)$ e $y\in (-1,+1)$ a $s \in (\infty, 0)$ .

En otras palabras, hemos parametrizado $x$ e $y$ positiva con los parámetros de $r$ e $s$.

Sustituyendo (3) en (1) da

$$z = \frac{1-t}{1+t}\tag{4}$$

con $t = r s$. Por lo tanto, tenemos $t \in (\infty, 0)$ y de (4) de la siguiente manera (2). QED.

Answer 4

Establecimiento $x=u'/c, y = v/c, z = u/c$ como en otra respuesta, es decir, expresar las velocidades como fracciones de la velocidad de la luz, se desea mostrar

$$ -1 < \frac{x+y}{1+xy} < 1 \quad\text{for $-1< x,y < 1$}. $$

Tenga en cuenta que el denominador es positivo, por lo que desea mostrar

$$ -1-xy < x+y < 1+xy.$$

La primera desigualdad se sigue de $$ x+y+1+xy = (1+x)(1+y) > 0, $$ el segundo de $ A$ 1+xy-(x+y)=(1-x)(1-y)>0. $$

Answer 5

Deje $u'=c-x$ e $v=c-y$ con $x\geq0$ e $y\geq0$. Entonces tenemos:

$$ u=\frac{(c-x)+(c-y)}{1+\frac{(c-x)(c-y)}{c^2}}=\frac{2c-x-y}{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}+\frac{xy}{c^2}}=c\frac{(2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c})}{(2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c})+\frac{xy}{c^2}}\leq c $$

(desde $\frac{xy}{c^2} \geq 0$)

Del mismo modo se puede establecer $u'=-c+x$, $v=-c+y$ a mostrar que $u\geq-c$.