Si $S$ es un sub-anillo de $R$ de índice finito como un grupo abelian, no se sigue que el subgrupo de unidades de $S^\star$ ha finito índice en $R^\star$ como un grupo multiplicativo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jim DeLaHunt
Puntos
175
En el caso de $R$ es conmutativa la respuesta es sí.
Deje $R \supset S$ anillos tales que el cociente $(R,+)/(S,+)$ es finito.
Deje $I = \{s \in S: sr \in S \mbox{ for all } r \in R\}.$ pretendemos $I$ es un ideal de a $R.$ Claramente, $I$ $S$- módulo. Debemos mostrar $I$ es estable bajo la multiplicación por elementos de la $R$. Deje $r \in R.$ si $s' \in I,$ $rs' = s'r \in S$ tal que $rs'r' =s(rr') \in S$ cualquier $r' \in R.$ por lo tanto, $rI \subset I.$ Es de la siguiente manera $I$ es un ideal de a $R.$
Ahora consideremos el anillo de $R/I.$ pretendemos $|R/I|$ es un número finito. Se observa que el $S$ acción en $R$ desciende a una acción en $(R,+)/(S,+)$ y el núcleo de esta acción es $I.$ por lo tanto, $S/I$ actos fielmente en $(R,+)/(S,+)$ a través de la izquierda de la multiplicación. Como el conjunto de endomorphisms de $(R,+)/(S,+),$ como un grupo abelian, es finito, se deduce $S/I$ es un anillo finito. Entonces como $S/I$ ha finito índice en $R/I,$ obtenemos el anillo de $R/I$ es un número finito.
El grupo $R^{\times}$ actúa en $R/I$ a través de la izquierda de la multiplicación como $R$-módulo de automorfismos. Considerar el núcleo de esta acción, $K.$ Debido a que el grupo $\mathrm{Aut}_R(R/I)$ es finito, el índice de $[R^{\times}:K]$ es finito. Pretendemos $K \subset S^{\times}.$ Deje $r \in K.$ Porque $r$ actúa en $R/I$ como la identidad, $r = 1 + s$ algunos $s\in I \subset S.$ por lo tanto, $r \in S.$ idéntico argumento muestra $r^{-1} \in S.$ Es de la siguiente manera $r \in S^{\times}$ y, por tanto, $K \subset S^{\times}.$
Llegamos a la conclusión de
$$[R^{\times}:S^{\times}] \le [R^{\times}:K] < \infty.$$
