Esta es una tarea problema en una licenciatura de la topología de la clase que estoy ridículamente (y probablemente estúpidamente) atascado en. Cualquier orientación se agradece:
Deje X ser conectado a un espacio, $f:X\to X$ continua involución (es decir, f es su propia inversa), $g:X\to\mathbb{R}$ continuo. Demostrar que $\exists$ $x\in X$ tal que $g(x)=g(f(x))$.
Aquí están las cosas que me entiendan:
Algunos ejemplos de $f$ incluye el mapa de identidad, $f(x)=-x$, $f(x)=\frac{1}{x}$ si $x\neq0$, etc. El resultado sostiene claramente si $f$ tiene un punto fijo. Sé que cualquier continua involución en $\mathbb{R}^2$ tiene un punto fijo, pero estamos en un arbitrario conectado espacio, y no tengo resultados que se pueden utilizar para tal cosa. Podemos definir una nueva función continua $h:X\to\mathbb{R}$, de modo que $h(x)=g(f(x))-g(x)$. Si esta función tiene un cero, el resultado de la siguiente manera, pero no sé cómo mostrar lo hace. Yo podría aplicar el teorema del valor intermedio puesto que X está conectado y $g:X\to\mathbb{R}$, pero yo de nuevo no veo cómo esto sería de gran ayuda.
Muchas gracias de antemano!
