En busca de una prueba no combinatorios que $a! \cdot b! \mid (a+b)!$

Question

(Usar $a$ y $b$ para denotar números naturales.)

Pregunta. Sin recurrir a la interpretación combinatoria de $$\frac{(a+b)!}{a! b!}$$ as a multinomial coefficients, is there a proof that for all $ $ and $b $, we have $% $ $a! \cdot b! \mid (a+b)! \qquad?$

Básicamente, quiero una prueba de que sólo utiliza algunos álgebra inteligente.

Estaba pensando que tal vez podemos utilizar aritmética modular y tratar de entender el valor de $(a+b)!$ modulo $a! \cdot b!$ y finalmente muestran que esto es $0$.

¿Ideas, cualquier persona?

Answer 1

Usted puede usar $\nu{p}(n!)=\sum \limits{k\ge 1}\left[\dfrac{n}{p^k}\right]$ y que $[a+b]\ge [a]+[b]$

Answer 2

Si utilizamos como un lema que el producto de $k$ enteros consecutivos es divisible por $k!$ (probado por ejemplo aquí: el producto de números enteros consecutivos es divisible por n factorial), vemos que los factores de $(a+b)!/a!$ en el % de enteros consecutivos de $b$ $a+1,\ldots,a+b$, por lo tanto es Divisibilidad por $b!$. Entonces $a!b!|(a+b)!$.

Answer 3

Posiblemente la respuesta que no quieres:

$$\frac{(a+0)!}{a!\cdot 0!}=1=\frac{(0+b)!}{0!\cdot b!}$$

y

$$\frac{(a+b)!}{a!\cdot b!}=\frac{(a+b)(a+b-1)!}{a!\cdot b!}=\frac{(a-1+b)!}{(a-1)!\cdot b!}+\frac{(a+b-1)!}{a!\cdot (b-1)!}.$$

Entonces por inducción, triángulo de Pascal se hace de enteros.

Answer 4

Con la configuración de

\begin{align*} [k]_q:=\frac{1-q^k}{1-q}\qquad\text{and}\qquad [k]_q!:=\prod_{j=1}^{k}[j]_q=\prod_{j=1}^{k}\frac{1-q^j}{1-q} \end{align*}

el q-coeficiente binomial $\begin{bmatrix}a+b\\a\end{bmatrix}_q$ se define como

\begin{align*} \begin{bmatrix}a+b\\a\end{bmatrix}_q:=\frac{[a+b]_q!}{[a]_q![b]_q!} \end{align*}

Desde el siguiente es válido \begin{align*} \begin{bmatrix}a+b\\a\end{bmatrix}_q&=\begin{bmatrix}a+b-1\\a\end{bmatrix}_q+q^{b}\begin{bmatrix}a+b-1\\a-1\end{bmatrix}_q\\ \begin{bmatrix}a\\0\end{bmatrix}_q&=\begin{bmatrix}a\\a\end{bmatrix}_q=1 \end{align*} el $q$-los coeficientes binomiales son polinomios en $q$ con entero no negativo de los coeficientes.

Junto con \begin{align*} \frac{(a+b)!}{a!b!}=\lim_{q\rightarrow 1}\begin{bmatrix}a+b\\a\end{bmatrix}_q \end{align*}

la reclamación $a!b!|(a+b)!$ sigue.

Answer 5

Hay una prueba verdaderamente hermosa por Tim Gowers.

Y una pregunta similar se ha pedido antes.