Necesita ayuda con linea integral

Question

A través de una curva de $C$$(x^2+y^2)^2=30^2(x^2-y^2)$, ¿Qué es $$ \cualquier\limits_C |y|\,\mathrm ds. $$

He tratado de trabajar en ella, pero no pude conseguir la solución.

He aquí cómo lo hice:

Usando coordenadas polares $$ \begin{cases} x(t) &= 30 \sqrt{\cos 2t}\cdot\cos t \\ y(t) &= 30 \sqrt{\cos 2t} \cdot\sin t \end{casos} $$ a partir de entonces, $\mathrm ds = 30 \sqrt{ \sec 2t}\cdot \mathrm dt$.

Finalmente, la integrante más de $$ \cualquier\limits_C |y|\,ds = 2 \cdot 30^2\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\sqrt{\cos 2t} \cdot\sqrt{\sec 2t} \sen t\, \mathrm dt = 0. $$

He pasado muchas horas en este problema ya. Podría alguien ser tan amable de ayudarme por favor? Gracias.

Answer 1

Su parametrización de $C$ es correcta, pero tenga en cuenta que solamente para $t$ en el % de intervalos $\bigl[-{\pi\over4},{\pi\over4}\bigr]$y $\bigl[{3\pi\over4},{5\pi\over4}\bigr]$ realmente conseguimos puntos de $C$. $r(t)=30\sqrt{\cos(2t)}$ Uno tiene %#% $ #% según su $$s'(t)=\sqrt{r^2(t)+r'^2(t)}={30\over\sqrt{\cos(2t)}}={30^2\over r(t)}\ ,$. Sigue ese % $ ${\rm d}s$por lo que finalmente obtenemos %#% $ #%