Difícil función generadora

Question

Definir un número hermoso para ser un número entero de la forma $a^n$, donde $a\in{3,4,5,6}$ $n$ es un número entero positivo. Probar que cada número entero mayor que $2$ puede expresarse como la suma de pares distintos números hermosa.

• He añadido el problema original.

Answer 1

Es equivalente a decir que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de a más $4$ queridos y diferentes poderes de $3,4,5,6$. Fácilmente podemos probar esta afirmación por inducción, ya que la propiedad, obviamente, tiene para los cuatro primeros números enteros positivos (los representamos como una suma de pequeños), por lo que tiene de los siete primeros números enteros positivos (agregar un $3$ a las anteriores representaciones), por lo que se tiene para los once primeros números enteros positivos (agregar un $4$ a las anteriores representaciones), por lo que se mantiene en las primeras dieciséis enteros positivos (agregar un $5$), por lo que se mantiene en las primeras veintidós (agregar un $6$), por lo que se mantiene en las primeras treinta y uno (agregar un $9=3^2$) y así sucesivamente para siempre, ya que: $$ 3^n+4^n+5^n+6^n \geq 3^n+3^n+3^n+1 > 3^{n+1}.$$

Answer 2

Deje $[x^n]$ denotar "el coeficiente de $x^n$".

Observar que $[x^n]$ $\prod_{k=1}^{\infty} \prod_{a=3}^{6} (1+x^{a^k})$ nos da el número de maneras de representar el $n\ge 3$ como la suma de pares distintos de la belleza de los números. Por lo tanto, el problema se reduce a demostrar que $[x^n]>0\ \forall n\ge 3$. En primer lugar, hemos de hacer una observación clave.

Clave: Observe que si $[x^k]>0$$k=0,1,2,...,n$$a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$, luego en el fin de demostrar que $[x^k]>0$$k=0,1,2,...,n+m$$(a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n)(1+x^m)$$m<n$, solo debemos demostrar que es $>0$$(1+x+x^2+\cdots +x^n )(1+x^m)$. De esta manera se sigue por el exponente de las leyes. En otras palabras, la conclusión de que el problema no es herido por la reducción de todos los coeficientes en cualquier paso intermedio de la expansión a todos los $1$'s.

Ahora para atacar el principal problema. Procedemos por inducción.

Para el caso base, debemos mostrar que $[x^n]>0$$\prod_{k=1}^{1} \prod_{a=3}^{6} (1+x^{a^k})$$n=3,4,...,3^1+4^1+5^1+6^1=18$. De esta manera se sigue directamente por la expansión desde $(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5)(1+x^6)=1+x^3+x^4+\cdots +x^{18}$ (con la excepción de $x^9$ aparecen como $2x^9$). Es suficiente para continuar con el paso inductivo en esta etapa, pero vamos a tomar algún tiempo para mostrar rápidamente cómo va a funcionar. Para mostrar que $[x^n]>0$$n=3,4...,\sum_{i=1}^2 3^i+4^i+5^i+6^i=104$$\prod_{k=1}^{2} \prod_{a=3}^{6} (1+x^{a^k})$, a continuación, girando la llave (he estado leyendo demasiado "Primer Obsesión" últimamente :P ) y en el caso base, solo hay que demostrar que se es$>0$$(1+x^3+x^4+\cdots +x^{18})(1+x^9)(1+x^{16})(1+x^{25})(1+x^{36})$. Podemos hacer esto en los pasos.

Para el primer paso, realizamos $(1+x^3+x^4+\cdots +x^{18})(1+x^9)=1+x^3+x^4+\cdots +x^{18}+x^9(1+x^3+x^4+\cdots +x^{18})$ $=1+x^3+x^4+\cdots +x^{18}+x^9+x^{10}+\cdots +x^{27}$. Ahora, desde los poderes $x^9, x^{10}, ..., x^{18}$ se repiten exactamente una vez, podemos omitir una vez sin lastimar a la conclusión deseada (la clave), y terminan con $1+x^3+x^4+\cdots +x^{27}$.

Del mismo modo, el segundo paso consiste en multiplicar este por $1+x^{16}$ get ("no en la práctica, pero en principio, y por la clave"- deja que esta declaración sea s0) $1+x^3+x^4+\cdots +x^{43}$; esto $1+x^{25}$ get (s0) $1+x^3+x^4+\cdots +x^{68}$; y, finalmente, esta por $x^{36}$ get (s0) $1+x^3+x^4+\cdots +x^{104}$. Por lo tanto, $[x^n]>0$ $n=3,4,...,104$ como se requiere, y hemos pasado de una base de caso para el siguiente caso más grande.

Ahora para la carne y las patatas de el problema. Supongamos que la proposición tiene para todos los $3\le n\le \sum_{i=1}^k 3^i+4^i+5^i+6^i$, es decir,$[x^j]>0$$j=3,4,...,\sum_{i=1}^k 3^i+4^i+5^i+6^i$$\prod_{n=1}^{k} \prod_{a=3}^{6} (1+x^{a^n})$. Como antes, se multiplica por $(1+x^{b^{k+1}})$ $b=3,4,5,6$ respectivamente. La clave, es suficiente para demostrar que $[x^n]>0$$n=3,4,...,\sum_{i=1}^{k+1} 3^i+4^i+5^i+6^i$$(1+x^3+x^4+\cdots +x^{\sum_{i=1}^k 3^i+4^i+5^i+6^i}) \prod_{a=3}^6 (1+x^{a^{k+1}})$. En realidad, deberíamos también en este punto vamos a $s_k:=\sum_{i=1}^k 3^i+4^i+5^i+6^i$.

$\bf b=3$. Tenemos $(1+x^3+x^4+\cdots +x^{s_k})(1+x^{3^{k+1}})$ $=1+x^3+x^4+\cdots +x^{s_k}+x^{3^{k+1}}(1+x^3+x^4+\cdots +x^{s_k})$ $=1+x^3+x^4+\cdots +x^{s_k}\color{red} + \color{black} x^{3^{k+1}}+x^{3^{k+1}+3}+x^{3^{k+1}+4}+\cdots +x^{s_k+3^{k+1}}$. Desde los exponentes de la $x$ a la derecha de la $\color{red} +$ después $x^{3^{k+1}}$ ir arriba por $1$ (por hipótesis inductiva), y desde $s_k>3^{k+1}$ (tenga en cuenta que $3^k+4^k+5^k+6^k>3^k+3^k+3^k+0=3^{k+1}$), se desprende que los poderes de la $x^n$ $n=3^{k+1}, 3^{k+1}+3, ..., s_k$ se repite, una vez a la izquierda de $\color{red} + $, y una vez a la derecha. Por la clave, podemos ignorar estos sin lastimar a la conclusión. Además, desde los poderes a la derecha de $\color{red} + $ contienen todos los poderes de $x$$s_k$$s_k+3^{k+1}$, de ello se desprende que las facultades del derecho de $\color{red} + $ contienen $x^n$$n=s_k+1,s_k+2,...,s_k+3^{k+1}$, ya que aumentan por $1$. Poner a la izquierda de $\color{red} + $ y el derecho de $\color{red} + $ juntos, terminamos con $1+x^3+x^4+\cdots +x^{s_k+3^{k+1}}$, y desde $[x^n]>0$ $n=3,4,...,s_k+3^{k+1}$ en esta expansión, el resultado de la siguiente manera para el caso de $b=3$.

No es difícil ver por el clave y el caso de $b=3$ que, en general, $[x^n]>0$ $n=3,4,...,n+m$ $(1+x^3+x^4+\cdots +x^n)(1+x^m)$ si y sólo si $m<n$. Por lo tanto, se puede asimismo obtener ese $[x^n]>0$ $n=3,4,...,s_k+3^{k+1}+4^{k+1}$ $\bf b=4$; $[x^n]>0$ para$n=3,4,...,s_k+3^{k+1}+4^{k+1}+5^{k+1}$$\bf b=5$; y $[x^n]>0$$n=3,4,...,s_k+3^{k+1}+4^{k+1}+5^{k+1}+6^{k+1}$$\bf b=6$.

Esto completa la inducción, y el resultado se sigue que $[x^n]>0$$n=3,4,...,s_m\ \forall m\in \mathbb{N}$$\prod_{k=1}^{m} \prod_{a=3}^{6} (1+x^{a^k})$. En particular, dejando $m\rightarrow \infty$ vemos que existe un número positivo de formas de representar todos los números naturales $n\ge 3$ como la suma de pares distintos de la belleza de los números, como se desee.