Limitar la distribución del proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Question

Deje $X_t = e^{-\lambda t} \left(X_0 + \int _0^t e^{\lambda u} dW_u\right)$ donde $(W_u)_{u \geqslant 0}$ es un proceso de Wiener, $X_0$ variable aleatoria de la ley de $\nu$ e independiente de $\int _0^t e^{\lambda u} dW_u$.

Quiero mostrar que no es significativa la distribución del límite de si $\lambda<0$. Utilizando la característica de la función y la independencia que puede mostrar la característica de limitación de la función es $0$ siempre, por lo que no es una función característica. Pero me dicen que no puede haber tal medida?

Sé que el primer término tiende a infinito y la varianza de la distribución normal de la segundo término, pero yo preferiría una mejor argumento de que estas dos medidas son, respectivamente, no finito o definido.

Answer 1

La noción usual de "distribución de límites" es la debilidad de la convergencia: una secuencia de probabilidad medidas de $\mu_n$ $\mathbb{R}$ converge débilmente a una probabilidad de medida $\mu$ si $\int f\,d\mu_n \to \int f\,d\mu$ para todos los delimitada continua $f$. En particular, desde la $f(x) = e^{itx}$ es un almacén de función continua, el chfs de $\mu_n$ debe converger a los chf de $\mu$. Si usted puede demostrar la chfs de su $X_t$ no convergen, o convergen a algo que no puede ser francos suizos, luego de haber descartado la debilidad de la convergencia.

(Nota tiene un pequeño error: no puede ser que el límite de la chfs es cero en todas partes, porque $\phi(0)=1$ para cualquier chf. Pero usted puede ser capaz de demostrar que el límite de la chfs es discontinua en 0, y esto sería suficiente porque chfs debe ser continua.)