Pregunta básica sobre gradientes

Question

Tengo problemas para comprender cómo el gradiente de un campo escalar es la dirección a lo largo del plano$x$ -$y$ que produce la inclinación máxima. ¿Seguro que toma en cuenta las derivadas parciales a lo largo de los ejes x e y, pero eso significa "inclinación máxima"? ¿Cómo entran las derivadas parciales en el campo del vector gradiente?
Una intuición básica sería genial.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para una función suave $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, el gradiente en un punto de $(x_0, y_0)$ es perpendicular a la curva de nivel en ese momento. Si $c = f(x_0, y_0)$, la curva de nivel es $f(x,y) = c$. Si usted se mueve a lo largo de una curva de nivel, entonces el valor de $f$ no cambia en absoluto. Si usted se mueve perpendicular a la curva de nivel (es decir, en la dirección del gradiente), entonces usted está en movimiento "tan rápido como sea posible", lejos de la curva de nivel. Que es lo que se entiende por "inclinación máxima"; si usted piensa de $f$ como la altura de una montaña, entonces la pendiente es la dirección local a la más empinada.

La palabra local es importante. La pendiente no apuntan generalmente a la cima de la montaña. Una vez que deje el punto original, el gradiente puede cambiar de dirección y por lo tanto el local más pronunciada de la dirección va a cambiar.

Answer 2

Primero, tenga en cuenta que para un vector unitario$v\in \mathbb{R}^n$ y una función que se puede diferenciar en$x\in \mathbb{R}^n$, la derivada en la dirección$v$ (que se define como el límite de$(f(x+vt)-f(x))/t$ como$t\to 0$) es$\nabla f(x) \cdot v$ (use la regla de la cadena para verificar esto).

Suponiendo que$\nabla f(x)\ne 0$, la pregunta es para qué vector unit$v$ el número$\nabla f(x) \cdot v$ es el máximo, y resulta que este es el caso de$v=\nabla f(x)/|\nabla f(x)|$ (la dirección del gradiente). ); de hecho, esta es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.