Formas de formar un comité: ¿por qué este enfoque es incorrecto?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Si hay 7 mujeres y 9 hombres, ¿cuántas maneras existen para seleccionar un comité de 5 miembros, si al menos 1 hombre y 1 mujer debe estar en el comité?

He encontrado la solución como sigue:

Vamos $C_r = $ $ 16 \choose{5}$ = el número de maneras de seleccionar los 5 miembros sin restricciones

Vamos $C_w = $ $ 7 \choose{5}$ = el número de formas de seleccionar todas las mujeres (es decir, no los hombres)

Vamos $C_m = $ $ 9 \choose{5}$ = el número de formas de seleccionar todos los hombres (es decir, no las mujeres)

$\therefore$ el número de maneras de elegir un comité de al menos un hombre y una mujer es $$C_r - C_w - C_m = 4368 - 21 - 126 = 4221$$

Entiendo que esto sea la respuesta correcta, pero estoy tratando de entender por qué el enfoque siguiente es incorrecto:

En primer lugar, seleccionamos 1 hombre, hay 9 maneras de hacer esto. En segundo lugar, hemos de seleccionar la opción 1 mujer, hay 7 maneras de hacer esto. A continuación, seleccionamos el resto de la comisión, y no nos importa si son hombres o mujeres. Hay $14 \choose{3}$ maneras de hacer esto.

$\therefore$ el número de maneras de elegir un comité de por lo menos uno de los muchos y una mujer es:

$$9 \times 7 \times 364 = 22932 \ne 4386$$

Así que, obviamente, este razonamiento es incorrecto. Lo que me estoy perdiendo en el segundo enfoque?

Answer 1

El problema es que overcounting por bastante. Una de las hipótesis inicialmente implica elegir el hombre, Adán, y la mujer Bárbara, y luego otros tres hombres/mujeres (por ejemplo, la mujer Carol y los dos hombres Dennis y Edwin). En un segundo escenario, se podría escoger inicialmente el hombre Edwin y la mujer Carol, y luego otros tres hombres/mujeres (por ejemplo, la mujer Bárbara y los dos hombres Adán y Dennis). Por desgracia, este es el mismo comité, como el primer escenario y tenemos el doble de contado.

Otra forma de abordar este ejemplo es un aviso de que hay exactamente cuatro (mutuamente exclusivos y exhaustivos) tipos de comités:

• $1$ hombre y $4$ mujeres
• $2$ hombres y $3$ mujeres
• $3$ hombres y $2$ mujeres
• $4$ hombres y $1$ mujer

La suma de cada caso, obtenemos: $$ \binom{9}{1}\binom{7}{4} + \binom{9}{2}\binom{7}{3} + \binom{9}{3}\binom{7}{2} + \binom{9}{4}\binom{7}{1} = 4221 $$

Answer 2

¡En el segundo acercamiento usted es overcounting - por mucho! El punto es el Comité que MMWMM se contarán 4 veces en el camino, porque el camino da peso en la elección del primer hombre y la mujer. Que está en su forma, si seleccionamos George primero o conteo de Andrew como eventos diferentes, pero no...