Mostrando que $\lim_{{x\to 0}}(1+\sin{x})^{\frac{1}{x}} = e$

Question

¿Cómo calculas$\displaystyle \lim_{{x\to 0}}(1+\sin{x})^{\frac{1}{x}}$? Lo tengo desde aquí . Dice L'Hopital, pero no puedo entender cómo aplicarlo ya que no tengo un denominador. También traté de volver a escribir el límite utilizando identidades de trigono:

$\displaystyle \lim_{{x\to 0}}(1+\sin{x})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} 2^{\frac{1}{x}}\sin^{\frac{2}{x}}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) = ?$

Answer 1

Sugerencia :$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sin x}\cdot \dfrac{\sin x}{x}$

Answer 2

Si deseamos usar la Regla de L'Hospital, entonces podemos escribir

PS

Entonces,

$$ \begin{align} \lim_{x\to 0}(1+\sin x)^{1/x}&=\lim_{x\to 0}e^{\left(\frac{\log(1+\sin x)}{x}\right)}\\\\ &e^{\lim_{x\to 0}\left(\frac{\log(1+\sin x)}{x}\right)}\\\\ &=e^{\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)}\\\\ &=e \end {align} $$

Answer 3

mi respuesta:

$\lim_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{1/x}$

$=\lim_{x\to 0}(\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}})^{\frac{\sin x}{x}}$

Nota:$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, así que obtengo

$=(e)^1=e$