$\int_0^{2\pi} e^{\cos(\phi)}\cos(\phi - \sin(\phi)) d\phi$ a través de la integración del contorno

Question

Alguien me puede ayudar a calcular esta integral usando el contorno de la integración?

$\int_0^{2\pi} e^{\cos(\phi)}\cos(\phi - \sin(\phi)) d\phi$

He usado el subctraction fórmula del coseno:

$$\cos(\phi - \sin(\phi)) = \cos(\phi)\cos(\sin(\phi)) + \sin(\phi)\sin(\sin(\phi))$$

la sustitución de $z = e^{i\phi}$:

$\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{\cos(\phi)}\cos\left(\phi - \sin(\phi)\right) d\phi$ $\displaystyle =\int_0^{2\pi} e^{\frac{1}{2} \left(z + \frac{1}{z}\right)}(\frac{1}{2} \left(z + \frac{1}{z}\right)\cos\left(\frac{1}{2} \left(z - \frac{1}{z}\right)\right) + \frac{1}{2i} \left(z - \frac{1}{z}\right)\sin\left(\frac{1}{2i} \left(z - \frac{1}{z}\right)\right)) d\phi$

He usado de nuevo trigonométricas fórmulas para romper el cos y el pecado, y entonces me he sustituto de la exponencial, el seno y el coseno con sus Taylor y de Laurent de la serie en $z = 0$ (que a mí me parece la única singularidad), y trató de encontrar el residuo de aislamiento de la $1/z$ coeficiente. Es que de una manera correcta? No importa lo mucho que intente no puedo obtener el resultado de la $2 \pi$.

Answer 1

Primero tenga en cuenta que$\cos\alpha=\cos(-\alpha)$, para que su integral pueda escribirse $$ \ eqalign {I & = \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {\ cos \ phi} \ cos (\ sin \ phi- \ phi) \, d \ phi \ cr & = {\ rm Re} \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {\ cos \ phi + i \ sin \ phi-i \ phi} \, d \ phi \ cr & = { \ rm Re} \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {e ^ {i \ phi}} e ^ {- i \ phi} \, d \ phi \. \ cr} $$ Ahora sustituya$z=e^{i\phi}$ para obtener una integral alrededor del círculo unitario, $$ \ eqalign {I & = {\ rm Re} \ int_C \ frac {e ^ z} {z} \, \ frac {dz} {iz} \ cr & = 2 \ pi \, {\ rm Res} \ Bigl (\ frac {e ^ z} {z ^ 2}, z = 0 \ Bigr) \ cr & = 2 \ pi \. \ cr} $$

Answer 2

Tu integral es la parte real de

PS

La integral derecha puede ser representada como

PS

Por el teorema del residuo,

PS

Por lo tanto

PS

y en consecuencia su integral se evalúa como$$\int_0^{2\pi} e^{\cos \phi}e^{i(\phi - \sin \phi)}\, d\phi = \int_0^{2\pi} e^{\cos \phi - i\sin \phi}e^{i\phi}\, d\phi = \int_0^{2\pi} e^{e^{-i\phi}}e^{i\phi}\, d\phi$.