¿Cómo de bien pueden las funciones continuas en $[0,1]$ se pueden aproximar mediante polinomios hasta un grado determinado?

Question

Dejemos que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ sea continua. El teorema de Stone-Weierstrass nos dice que existe una secuencia $p_n$ de polinomios definidos en $[0,1]$ tal que $$\lim_{n \to +\infty} ||p_n - f||_{\infty} = 0$$

Una consecuencia de este teorema es que

$$\lim_{n \to +\infty} \inf \{||p-f||_{\infty} : p \ \text{is a polynomial of degree} \leq n\} =0$$

Esta es la cantidad que me interesa. A saber, $$\epsilon(n) \stackrel{\rm def}{=}\inf \{||p-f||_{\infty} : p \ \text{is a polynomial of degree} \leq n\}$$

Esto nos dice aproximadamente lo siguiente: si queremos aproximar uniformemente $f$ por un polinomio de grado $\leq n$ entonces deberíamos esperar un error de al menos $\epsilon(n)$ .

¿Existe un límite superior explícito para $\epsilon(n)$ (por ejemplo, algo como $\epsilon(n) \leq \frac{15}{\log n})$ ? ¿Existe un límite asintótico para $\epsilon(n)$ (por ejemplo, $\epsilon(n) = O(n^{-2})$ ?

Los límites deben ser lo más ajustados posible.

Answer 1

No hay una respuesta razonable sin restringir la clase de funciones $f$ que estás considerando. El error puede ser $O(r^{-n})$ si $f$ tiene una continuación analítica en una elipse con focos $0, 1$ en la compleja llanura, puede ser sólo $O(1/n)$ si sólo se sabe que es diferenciable (con derivada acotada) en $[0,1]$ o puede ser aún peor, si $f$ es simplemente continua, pero no suave.

Answer 2

En primer lugar, la cantidad $\epsilon(n)$ viene dada por un determinado polinomio $\tilde p$ para que $$\epsilon(n)=||f-\tilde p||_{\infty}$$ Los teoremas de Jackson permiten limitar el error. Si $f$ es sólo continua se puede decir que $$ \epsilon(n) \le M \omega(f, \frac{b-a}{n}) $$ donde el módulo de continuidad se define como $$ \omega(f,\delta) := \sup \{|f(x)-f(y)| : x,y \in [a,b],|x-y|\le \delta \}$$ y $M$ es una constante real (en su caso el dominio es $[a,b]=[0,1] $ ). Si $f$ es cada vez más regular, como la continua de lipschitz, $C^p$ , $C^{\infty}$ analítica y analítica en todo el plano complejo, los límites se vuelven más severos y la aproximación es mucho mejor.