¿Cuál es la distancia mínima $d$ % los gráficos de $y_1 = \sin x$ $y_2 = 2 + \sin x$? La observación trivial es que $d \le 2$ (sólo set $x = 0$ en ambas ecuaciones), pero los cómputos numéricos demuestran que $x_1 \approx 0.4787$ y $x_2 \approx -0.4787$ (es sorprendente que $x_1+x_2 = 0$, ¿no?) tenemos $d((x_1, y_1(x_1)), (x_2,y_2(x_2)) \approx 1.4423$. ¿Podemos encontrar el valor exacto? Ya probé usando RIES pero no dio ningún resultado.
Respuestas
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Como yohBS comentado, el problema es minimizar el cuadrado de la distancia, es decir,$$F(x,y)=(x-y)^2+(\sin(x)+2-\sin(y))^2$$ Computing the partial derivatives, $$F'_x(x,y)=2 (x-y)+2 \cos (x) (\sin (x)-\sin (y)+2)$$ $$F'_y(x,y)=-2 (x-y)-2 \cos (y) (\sin (x)-\sin (y)+2)$$ What is "clear" is that $$F'_x(x,-x)=4 x+2 (2 \sin (x)+2) \cos (x)$$ $$F'_y(x,-x)=-4 x-2 (2 \sin (x)+2) \cos (x)=-F'_x(x,-x)$$ which make both partial derivatives equal to $0$ if one of them is $0$.
Así, el problema se reduce a la minimización de $$G(x)=4 x^2+(2 \sin (x)+2)^2$$ that is to say to the solution of $$G'(x)=8 (x+(\sin (x)+1) \cos (x))=0$$ The plot of this function shows a root very close to $-\frac 12$. So, using Newton with $x_0=-\frac 12$, the first iteration gives $$x_1=-\frac{1}{2}-\frac{\left(1-\sin \left(\frac{1}{2}\right)\right) \cos \left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}}{1+\izquierda(1-\pecado \left(\frac{1}{2}\right)\right) \sin \left(\frac{1}{2}\right)+\cos ^2\left(\frac{1}{2}\right)}\approx -0.478634$$ while the solution is $\aprox -0.478722$ (it is worth to mention that one iteration of Halley method leads to $x_1 \aprox -0.478725$)
El uso de Newton con $x_0=-\frac {\pi} 6$, la primera iteración da $$x_1=-\frac{1}{24} \left(3 \sqrt{3}+2 \pi \right)\approx -0.478306$$ and using Halley would give $$x_1=-\frac{603 \sqrt{3}+4 \pi \left(87+\sqrt{3} \pi \right)}{4608} \approx -0.478750$$
El uso de $x_1$ como una aproximación de la solución, la distancia mínima es dado por una fea fórmula (demasiado grande para caber en la página); de cualquier manera, en este punto, $F(x_1,-x_1)\approx 2.08031$ correspondiente a una distancia de $\approx 1.44233$ que ya se encuentra.
Usted puede darse cuenta de que $F(-\frac {\pi} 6,\frac {\pi} 6)=1+\frac{\pi ^2}{9}$ a la que corresponde una distancia $\approx 1.44797$ muy cerca de la rigurosa mínimo. El desarrollo de $F(x,-x)$ como un tercer orden de la serie de Taylor construido en $x=-\frac {\pi} 6$ da un mínimo de $$x=-\frac{1}{6} \left(8 \sqrt{3}+\pi -2 \sqrt{39+2 \sqrt{3} \pi }\right)\approx -0.478741$$
Todo esto puede ser confirmado por un análisis de los gráficos de contorno.
Narasimham
Puntos
7596
Es antisimétrica sobre el % de punto $(1,1)$.
Distancia mínima el normal común debe ser normal a cualquier gráfico.
La distancia mínima = $d$, $ (d/2)^2 = x^2 + ( 1 - \sin x)^2 $ que simplifica a:
$ ( x- ( 1 - \sin x) \cos x) =0, $ que tiene un % de solución numérica $ x = \pm 0.478722$
Así los dos puntos de distancia son entre los puntos antisimétrico:
$$ (0.478722,.460646), (-0.478722,1.53935 ) $$
