Pruebas de que el grado de un irrep divide el orden de un grupo

Question

Es un teorema de la teoría básica de la representación que el grado de una representación irreducible sobre $G$ en $\mathbb{C}$ divide el orden de $G$ . La prueba habitual de este hecho implica enteros algebraicos (véase, por ejemplo, Fulton & Harris Teoría de la representación , Serre's Representaciones lineales de grupos finitos o Simon's Representaciones de grupos finitos y compactos ). Sin embargo, encuentro esta demostración algo insatisfactoria precisamente porque utiliza enteros algebraicos, que no aparecen mucho en otras partes de la teoría básica de la representación, y no es en absoluto evidente por qué deberían utilizarse enteros algebraicos. Creo que tiene que haber otra demostración de este teorema que utilice técnicas de teoría de grupos y teoría de la representación, pero la única demostración que conozco es la de Kopp y Wiltshire-Gordon pero esa prueba parece utilizar ideas aún más complicadas, ¡si no maquinaria!

¿Cuáles son otras pruebas de este teorema?

Answer 1

Me parece que Etingof et al (páginas 51-52) y Kopp y Wiltshire-Gordon dan pruebas muy similares. Las escribiré de la forma más elemental que pueda, y también daré una tercera prueba propia en la misma línea.

Notación: Sea $G$ sea nuestro grupo finito, $V$ un irrep sobre los números complejos, $\rho_V$ el mapa $G \to GL(V)$ y $\chi_V$ el carácter de $V$ . Escribimos $\mathrm{Id}_V$ para el mapa de identidad $V \to V$ . Sea $g_1$ , $g_2$ , ..., $g_c$ sean representantes de las clases de conjugación de $G$ y que $C(g)$ sea la clase de conjugación de $g$ .

Lema: Para cualquier $g \in G$ , $$\sum_{h \in C(g)} \rho_V(h) = \frac{|C(g)| \chi_V(g)}{\dim V} \mathrm{Id}_V \quad\quad (\ast)$$

Prueba: Para cualquier $f$ en $G$ tenemos $$\rho_V(f) \cdot \left( \sum_{h \in C(g)} \rho_V(h) \right) = \sum_{h \in C(g)} \rho_V(fh) =$$ $$\left( \sum_{h \in C(g)} \rho_V(fhf^{-1}) \right) \cdot \rho_V(f) = \left( \sum_{h \in C(g)} \rho_V(h) \right) \cdot \rho_V(f).$$

Por tanto, la parte izquierda de $(\ast)$ conmuta con cada $\rho_V(f)$ . Por el lema de Schur, esto significa que el lado izquierdo de $(\ast)$ es $a \mathrm{Id}_V$ para algún escalar $a$ . Tomando trazas, calculamos que $|C(g)| \chi_V(g) = a \dim V$ Así que $a = |C(g)| \chi_V(g)/\dim V$ según sea necesario. $\square$

Definamos $$P(g) = \sum_{h \in C(g)} h.$$ Se trata de un elemento de $\mathbb{Z}[G]$ . Sea $$P_V(g) = \sum_{h \in C(g)} \rho_V(h).$$ Así es como $P(g)$ actúa sobre $V$ . Así pues, el lema anterior demuestra que $P_V(g) = |C(g)| \chi_V(g)/ \dim V \cdot \mathrm{Id}_V$ .

Los dos documentos que cito quieren resumir $P_V(g_i)$ de alguna manera, utilizar la identidad $$\sum_{i} |C(g_i)| \chi_V(g_i) \chi_V(g_i^{-1}) = |G| \quad \quad (\ast \ast)$$ y terminar con $\dim V$ en el denominador de algo que pueden demostrar, por otros medios, que es un número entero. Tenga en cuenta que puede reconocer $(\ast \ast)$ mejor en la forma $\sum_{g \in G} \chi_V(g) \overline{\chi_V(g)} = |G|$ obtenemos la identidad $(\ast \ast)$ agrupando los términos de la misma clase de conjugación y utilizando $\chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)}$ .

La prueba de Etingof et al: Considere $$Q_V = \sum_i P_V(g_i) \chi_V(g_i^{-1}).$$ Por un lado, utilizando el Lemma, $$Q_V = \sum_i |C(g_i)| \chi_V(g_i) \chi_V(g_i^{-1}) \frac{1}{\dim V} \mathrm{Id}_V = \frac{|G|}{\dim V} \mathrm{Id}_V$$ utilizando $(\ast\ast)$ .

Por otro lado, si amplía $Q_V$ en $\mathbb{C}[G]$ verás que el coeficiente de cada elemento del grupo es un número entero algebraico. Así que $|G|/\dim V$ es un número entero algebraico y, puesto que es racional, debe ser un número entero. $\square$ .

La prueba de Kopp y Wiltshire-Gordon: Establecer $$R = \sum_{i} \frac{|G|}{|C(g)|} P(g_i) P(g_i^{-1}).$$ Sea $R_V = \rho_V(R)$ .

Usando el lema, $$R_V = \sum_i \frac{|G|}{(\dim V)^2} |C(g_i)| \chi_V(g_i) \chi_V(g_i^{-1}) \mathrm{Id} = \frac{|G|^2}{(\dim V)^2} \mathrm{Id}_V.$$

Así, de manera similar, $$\rho_V(R^k) = \frac{|G|^{2k}}{(\dim V)^{2k}} \mathrm{Id}_V.$$

Sea $U$ sea la representación regular de $G$ . Así que $\chi_U = \sum (\dim V) \chi_V$ . Deducimos que $$\chi_U(R^k) = \sum_V (\dim V) \frac{|G|^{2k}}{(\dim V)^{2k}} \mathrm{Tr}(\mathrm{Id}_V) = \sum_V (\dim V)^2 \frac{|G|^{2k}}{(\dim V)^{2k}}.$$

Por otro lado, $R$ está claramente en $\mathbb{Z}[G]$ . (Recordemos que $|C(g)|$ divide $|G|$ porque $|C(g)|$ tiene una acción transitiva de $G$ por conjugación). Así que $R^k$ está en $\mathbb{Z}[G]$ . Y el rastro de cualquier elemento de $\mathbb{Z}[G]$ que actúa sobre la rep regular es un número entero (de hecho, es $|G|$ veces el coeficiente de la identidad). Así que $\sum_V (\dim V)^2 \frac{|G|^{2k}}{(\dim V)^{2k}}$ es un número entero (de hecho, uno divisible por $|G|$ ) para todos $k$ . En el Lemma 6.2, los autores muestran que esto obliga a cada $|G|/\dim V$ sea un número entero. $\square$

Observación Otras partes del documento recurren a la identidad agradable $R = \sum_{g \in g} \sum_{h \in G} ghg^{-1} h^{-1}$ . Pero esto no parece importante si nuestro objetivo es únicamente obtener este dato.

Variante de la segunda prueba Si se considera la acción de $R$ en $\mathbb{Z} G$ está claramente dada por una matriz con entradas enteras. Sea $f(\lambda)$ es el polinomio característico de dicha matriz, por lo que $f$ es un polinomio mónico con coeficientes racionales.

Demostramos que $R$ actúa sobre el subespacio $V^{\oplus \dim V}$ de $\mathbb{C} G$ por $(|G|/\dim V)^2$ . Así que $(|G|/\dim V)^2$ es un valor propio de la matriz entera anterior. Así que $(|G|/\dim V)^2$ es una raíz de $f$ . Por el teorema de la raíz racional, deducimos que $(\dim V)^2$ divide $|G|^2$ Así que $\dim V$ divide $|G|$ . $\square$

Answer 2

El otro día estaba pensando en otra cosa y se me ocurrió otra prueba. Es más pesada en la teoría de números, pero más ligera en la teoría de caracteres, que las otras pruebas hasta ahora.

Lema Sea $V$ sea un irrep de $G$ con mapa de representación $\rho: G \to GL(V)$ . Sea $A$ sea cualquier elemento de $\mathrm{End}(V)$ . Entonces $$\sum_{g \in G} \rho(g) A \rho(g^{-1}) = \frac{\mathrm{Tr}(A) \cdot |G|}{\dim V} \mathrm{Id}.$$

Prueba Tenemos $$\rho(h) \left( \sum_{g \in G} \rho(g) A \rho(g^{-1}) \right) = \sum_{g \in G} \rho(hg) A \rho(g^{-1}) = \left( \sum_{f \in G} \rho(f) A \rho(f^{-1}) \right) \rho(h)$$ por el cambio de variable $f=hg$ . De modo que el lado izquierdo conmuta con el $G$ -y, por tanto, es un escalar. Si tomamos las trazas de ambos lados sabremos de qué escalar se trata. $\square$

Lema Con la notación anterior, podemos elegir una base para $V$ de modo que todas las entradas de $\rho(g)$ son enteros algebraicos.

Prueba Véase aquí . $\square$

Tomemos dicha base y dejemos que $A$ sea una matriz con entradas enteras y traza $1$ . Entonces el primer lema muestra que $|G|/\dim V$ es una suma de enteros algebraicos, por lo tanto un entero algebraico, por lo tanto un entero.

Answer 3

Consideremos el siguiente lema: Sea $G$ sea un grupo finito, $g \in G$ y $w$ sea una palabra dada en $G$ . Sea $\gamma_G^g(w) = |\{\vec{g} \in G^n: w(\vec{g})=g\}|$ . Entonces $\gamma_G^g(w)=\sum_{\chi} \frac{\overline{\chi(g)}}{|G|} \sum_{\vec{g} \in G^n} \chi(w(\vec{g}))$ .

Pruebas: Sea $f: G \to \mathbb{C}$ definirse de la siguiente manera: $f(x)=|G|$ si $x \in g^G$ (es decir, si $x$ está en la clase de conjugación de $g$ ) y $f(x)=0$ de lo contrario. Claramente, $f$ es una función de clase. Supongamos que $A=\sum_{\vec{g} \in G^n} f(w(\vec{g}))$ . Desde $f(w(\vec{g}))$ es distinto de cero si y sólo si $w(\vec{g}) \in g^G$ y puesto que $f$ es una función de clase, se deduce que $A=|g^G| |G| \gamma_G^g(w)$ Así que $\gamma_G^g(w)=\frac{A}{|g^G||G|}$ .

En $f$ es una función de clase, tenemos que $f=\sum_{\chi} \langle f,\chi \rangle \chi$ donde la suma se realiza sobre todos los caracteres irreducibles de $G$ . Pero $\langle f, \chi \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} f(x) \overline{\chi(x)} =\frac{1}{|G|} |g^G| |G| \overline{\chi(g)} = |g^G| \overline{\chi(g)}$ (utilizando únicamente la definición de $f$ Así que $f=\sum_{\chi} |g^G| \overline{\chi(g)} \chi$ ) y por tanto

$$\begin{equation} A= |g^G|\sum_{\vec{g} \in G^n} \sum_{\chi} \overline{\chi(g)}\chi(w(\vec{g}))=|g^G| \sum_{\chi} \overline{\chi(g)} \sum_{\vec{g} \in G^n} \chi(w(\vec{g})) \end{equation}$$

Desde $\gamma_G^g(w)=\frac{A}{|G||g^G|}$ obtenemos $\gamma_G^g(w)=\sum_{\chi}\frac{\overline{\chi(g)}}{|G|}\sum_{\vec{g} \in G^n}\chi(w(\vec{g}))$ .

$\square$

Apliquemos ahora este lema a la palabra que es producto de $k+1$ conmutadores. Usando los lemas 3.2 y 3.3 de Kopp y Wiltshire-Gordon (que se basan sólo en el lema de Schur y son sencillos, ya que el grupo es finito, por lo que se obtienen sumas en lugar de integrales), se recupera la ecuación 70 de Kopp y Wiltshire-Gordon, obviando los argumentos topológicos. A partir de ahí, sólo necesitas la teoría básica de números que utiliza en la sección 6 para terminar la demostración.

Answer 4

Aquí está mi intento de una prueba "elemental", que es básicamente un camino geodésico a través de la prueba que Serre da en Representaciones lineales de grupos finitos .

Teorema. Sea $\rho$ sea una representación irreducible de $G$ . Entonces $d=\dim \rho$ divide $n=\lvert G\rvert$ .

Para cualquier $x\in G$ consideremos el operador $$\def\Cl{\operatorname{Cl}}T_x := \sum_{g\in \Cl(x)} \rho_g.$$ Obsérvese que esto sólo depende de la clase de conjugación de $x$ . Tenemos $\rho_a T_x\rho_{a^{-1}} = T_x$ para cualquier $a\in G$ por lo que lema de Schur, $T_x=\lambda_x I$ para algunos $\def\C{\mathbb{C}}\lambda_x\in \C$ . Podemos calcular $\lambda_x$ tomando rastros: $$\lambda_x = \frac{\lvert\Cl(x)\rvert}{d} \chi(x)$$ donde $\chi$ es el carácter de $\rho$ . En particular, $\lambda_e=1$ .

Tomando la traza de $\sum_{g\in G} \chi(g^{-1})\rho_g = \sum_{x_i} \chi(x_i^{-1}) T_{x_i}$ (suma sobre un conjunto $\{x_i\}$ de representantes de las clases de conjugación), y utilizando la relación de ortogonalidad $\langle\chi,\,\chi\rangle=1$ obtenemos una identidad $$\frac{n}{d} = \sum_{x_i}\chi(x_i^{-1})\lambda_{x_i}.$$

Sea $R=$ el subgrupo abeliano de $\C$ generado bajo adición por el conjunto finito de elementos $$\zeta^k \lambda_x, \qquad 0\leq k<n,\quad x\in G,$$ donde $\zeta=e^{2\pi i/n}$ . Desde $\chi(g)$ es una suma de $n$ -th raíces de la unidad, tenemos de la identidad anterior que $n/d\in R$ .

Reclamación. Para cualquier $g,h\in G$ existe una fórmula $$T_gT_h = \sum_{x_i} m_{x_i} T_{x_i}\qquad \text{and therefore}\qquad \lambda_g\lambda_h = \sum_{x_i} m_{x_i} \lambda_{x_i},$$ donde la suma es sobre $\{x_i\}$ un conjunto de representantes de de conjugación, y $m_x=$ tamaño de $\{(u,v)\in \Cl(g)\times \Cl(h)\;|\;uv=x\}$ y así $\def\Z{\mathbb{Z}}m_x\in \Z$ . Prueba. Sencillo.

Por la afirmación anterior, $R$ es de hecho un subring de $\C$ por lo que multiplicación por cualquier elemento de $R$ como $n/d$ define un endomorfismo $\phi\colon R\to R$ del grupo abeliano subyacente.

Como grupo abeliano $R$ es ciertamente finitamente generada, y puesto que $R\subseteq \C$ es libre de torsión. Por lo tanto la clasificación de grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a $\Z^N$ para algunos $N\geq 1$ . Elija una base para $R$ en $\Z$ y que $A$ sea la matriz entera que representa $\phi$ en esta base.

Desde $\def\Q{\mathbb{Q}}n/d\in \Q$ para cualquier $r\in R$ debemos tener $d\phi(r)=nr$ Así que $dA=nI$ es decir, $A=(n/d)I$ . Pero $A$ es un $N\times N$ matriz entera con $N\geq1$ Así que $n/d\in \Z$ como desee.

Answer 5

Usted probablemente tendrá que usar el Teorema de Lagrange. La hipótesis básica aquí es que G es un grupo finito de C. Considere la posibilidad de cualquier representación irreducible de G para ser el subgrupo de G. Ahora cualquier subgrupo H (en este caso irreductible de la representación) de un grupo finito G divide al orden del grupo por el teorema de Lagrange.