Si esta matriz es positiva definida

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz cuadrada real no singular. ¿Es cierto que la matriz $$\frac{1}{2}(A+A')-2(A^{-1}+(A^{-1})')^{-1}$$ es semidefinido positivo?

Aquí, $A'$ denota la transposición de $A$ .

Editado

Dejemos que $A,B$ sean matrices positivas definidas del mismo tamaño, ¿es cierto que $\frac{1}{2}(AB+BA)2((AB)^{1}+(BA)^{1})^{1}$ es semidefinido positivo?

Answer 1

Añadido : Esto responde a la pregunta actualizada.

Su conjetura actualizada también es falsa. Considere:

$$ A = \left( \begin{array}{cc} 10 & -5 \\ 9 & 3 \\ \end{array} \right) \qquad\qquad\qquad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 8 & 8 \\ \end{array} \right) $$

Entonces

$$ \frac{1}{2}(A.B + B.A) - 2 ( (A.B)^{-1} + (B.A)^{-1} )^{-1} = \frac{1}{7474} \left( \begin{array}{cc} -98938 & -164451 \\ 247345 & -61502 \\ \end{array} \right) $$

La matriz anterior es negativa-definida.

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Añadido : Esta parte responde a la primera variante del problema:

No, no es cierto. Contraejemplo:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 3 & -4 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & -2 & -3 \\ \end{array} \right) $$

Entonces

$$ \frac{1}{2}( A + A^t) - 2 ( A^{-1} + (A^{-1})^t)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{127}{198} & \frac{4}{33} & -\frac{163}{198} \\ \frac{4}{33} & -\frac{2}{11} & \frac{5}{33} \\ -\frac{163}{198} & \frac{5}{33} & \frac{59}{99} \\ \end{array} \right) $$

Sus valores propios son, aproximadamente, $1.44$ , $-0.387$ y cero.

Añadido : Para crear este contraejemplo he utilizado Mathematica :

f[a_] := 1/2 (a + Transpose[a]) - 
  2 Inverse[# + Transpose[#] &[Inverse[a]]]

Ahora esto genera matrices aleatorias de valores enteros hasta que se genera una no degenerada con la combinación en cuestión que tiene valores propios de signos opuestos:

While[True,
  While[Det[a = RandomInteger[{-4, 4}, {2, 2}]] == 0, Null];
  If[ Intersection[Sign[Eigenvalues[f[a]]], {-1, 1}] == {-1, 1}, 
   Break[]]
  ];

Aquí tienes una captura de pantalla:

Answer 2

Su nueva hipótesis sigue siendo incorrecta. Contraejemplo: para $A={\rm diag}(8,1)$ y $B=\begin{pmatrix}1&2\\2&8\end{pmatrix}$, we have $M=\frac{1}{2}(AB+BA)−2((AB)^{−1}+(BA)^{−1})^{−1} = \frac{49}{17}\begin{pmatrix}8&9\\9&8\end{pmatrix}$ cuyos dos valores propios son $\frac{-49}{17}$ y $49$ resp., por lo que $M$ no es ni semidefinido positivo ni semidefinido negativo.

La próxima vez, puedes hacer primero algunos experimentos computacionales para ver si se viola tu hipótesis. Los contraejemplos suelen ser fáciles de generar. El anterior contraejemplo mío, por ejemplo, está modificado a partir de una salida aleatoria del siguiente código de Matlab:

A=diag(rand(1,2));

D=diag(rand(1,2)); W=rand(2,2); Q=expm(W-W'); B=Q*D*Q';

M=0,5*(A*B+B*A)-2*inv(inv(A*B)+inv(B*A)); eig(M)

Answer 3

Un argumento algo más riguroso es el siguiente: Obsérvese que las expresiones pueden reescribirse como $$ \begin{align} 0 &\stackrel{?}{\preceq} \frac{1}{2}(A+A^T) -2((A^{T})^{-1}+A^{-1})^{-1} \tag{Q}\\ &=\frac{1}{2}(A+A^T) -2 A^T(A+A^T)^{-1}A \tag{1}\\ &= \frac{1}{2}(A+A^T) -2 A(A+A^T)^{-1}A^T\tag{1'}\\ &= \frac{1}{2}(A+A^T)(A+A^T)^{-1}(A+A^T)-2 A^T(A+A^T)^{-1}A\\ &= \frac{1}{2}(A-A^T)(A+A^T)^{-1}(A-A^T)\\ &= -\frac{1}{2}(A-A^T)^T(A+A^T)^{-1}(A-A^T) \tag{2} \end{align} $$ Aquí (1) y (1') son iguales y dependiendo de qué lado se factorice el $A^{-1}$ . Y entonces sólo reconocemos un paso de "completar el cuadrado".

Aquí, nótese que (2) no es más que una transformación de congruencia, es decir $P^TSP$ con simetría sesgada $P=-P^T$ por lo que el signo de $S$ se conserva. Por lo tanto, todo lo que se pueda decir sobre la (in)definición de $-(A+A^T)$ lo mismo ocurre con $(Q)$ . Por lo tanto, la respuesta es negativa, (Q) no se cumple en general. Sustituyendo $A$ con $AB$ no requiere ninguna modificación.

Un detalle importante es que incluso $A,B\succ 0$ Esto no implica que $AB+BA\succ 0$ desde $AB$ no es necesariamente simétrica. (el usuario1551 ya construyó un ejemplo).