Cuestión difícil que implica encontrar el campo magnético dado la ecuación de onda para el campo eléctrico y ' solución s

Question

Considere la ecuación de onda para linealmente $x$ polarizada ondas que viajan en el $\pm z$ direcciones:

$$\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial z^2}\tag{1}$$ La solución general de la ecuación de $(1)$ es $$\vec E_x=\vec E_{+}(q)+\vec E_{-}(s)$$ donde $\vec E_{+}$ $\vec E_{-}$ son funciones arbitrarias. $$q=z-ct$$ & $$s=z+ct$$

Calcular la forma general del campo magnético en términos de $\vec E_{+}$ $\vec E_{-}$

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Estoy atrapado en el principio.

Tengo la solución a esta pregunta, pero el problema es que no puedo entender que el autor de la solución.

Así que no voy a hacer preguntas sobre el autor de la solución, la cual es como sigue:

Es evidente que se puede escribir $$\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)\tag{a}$$ and $$\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{ \partial \vec E_x}{\partial z}\tag{b}$$ then $$\frac{\partial q}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\left(\frac{\partial q}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d\vec E_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d \vec E_{-}}{ds}\right)\tag{c}$$ $$\implies -c\frac{d\vec B_{+}}{dq}+c\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\frac{d\vec E_{+}}{dq}+\frac{d\vec E_{-}}{ds}\tag{d}$$ por lo tanto, $$\vec B_y=\frac{1}{c}\left[\vec E_{+}(q)-\vec E_{-}(s)\right]\tag{e}$$

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Puedo entender completamente cómo $(\mathrm{d})$ sigue de $(\mathrm{c})$ y también cómo $(\mathrm{e})$ sigue de $(\mathrm{d})$.

No entiendo por qué ", obviamente, puede escribir $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$"; ¿Cuál es el origen de esta ecuación: $(\mathrm{a})$? Está lejos de ser obvio para mí que usted puede escribir $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$.

También, ¿cuál es el origen de la ecuación de $(\mathrm{b})$? ¿Qué significa esto? Es una reformulación de una de las ecuaciones de Maxwell?

Por último, ¿qué $(\mathrm{c})$ seguir de $(\mathrm{b})$? Tomo nota de que el autor está usando la regla de la cadena aquí, pero no estoy seguro acerca de la lógica.

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Si alguien me pudiera ayudar dándoles consejos o explicaciones a ninguna de las preguntas que me han planteado, a continuación, yo estaría muy agradecido.

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EDITAR:

Gracias a @Farcher ahora entiendo parte $(\mathrm{a})$ y fue capaz de escribir una respuesta de mi propia elaboración de piezas de $(\mathrm{b})$$(\mathrm{c})$.

Answer 1

Para mi propia referencia (y a los demás si están interesados) voy a ampliar lo que @Farcher escribió en su respuesta para piezas de $(\mathrm{b})$$(\mathrm{c})$:

Para mostrar parte $(\mathrm{b})$ a partir de la Ley de Faraday: $$\begin{align}\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}&= -\vec \nabla \times \vec E_x\\&=- \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}\\&=-\left(\frac{\partial E_x}{\partial z }\hat j-\frac{\partial E_x}{\partial y}\hat k\right)\\&=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}\end{align}$$

como el $\hat k$ componente desaparece desde $E_x$ no depende de $y$, por lo que la derivada es cero.

El $\vec B_y$ sólo tiene un $\hat j$ componente como es oscilante en el $y$ dirección. Después de tomar la curvatura del campo eléctrico sólo el $\hat j$ componente sobrevivido; así que esto tiene perfecto sentido como el vector de componentes deben coincidir para que la igualdad de mantener.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $$\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}$$ which is indeed equation $(\mathrm{b})$

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Para la parte $(\mathrm{c})$ hemos $$\vec B_{y}=\vec B_{y}(\vec B_{+},\vec B_{-})$$ $$\vec B_{+}=\vec B_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec B_{-}=\vec B_{-}(s)$$ $$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$$

Por lo que el correspondiente diagrama de árbol que conecta las variables dependientes en la parte superior de las variables independientes en la parte inferior es:

Desde el diagrama de árbol vemos que

$$\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}\cdot\frac{d\vec B_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial t}+\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}\cdot\frac{d\vec B_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial t}$$

Ahora desde $$\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}=1$$ y $$\frac{\partial q}{\partial t}=-c\,,\qquad \frac{\partial s}{\partial t}=c$$ por lo tanto se puede escribir $$\fbox{$\color{blue}{\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=-c\frac{d\vec B_{+}}{d q}+c\frac{d\vec B_{-}}{s}}$}$$

que es el lado izquierdo de $(\mathrm{c})$

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La RHS de $(\mathrm{c})$ es completamente análogo al método utilizado para obtener el lado izquierdo. Pero para referencia voy a escribir los pasos de forma explícita.

Similar a antes de que nos han $$\vec E_{x}=\vec E_{x}(\vec E_{+},\vec E_{-})$$ $$\vec E_{+}=\vec E_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec E_{-}=\vec E_{-}(s)$$ $$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$$

Por lo que el correspondiente diagrama de árbol para este caso es:

y a partir de ella podemos ver que

$$-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\left(\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}\cdot\frac{d\vec E_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial z}+\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}\cdot\frac{d\vec E_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial z}\right)$$

Ahora desde $$\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}=\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}=1$$ y $$\frac{\partial q}{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial z}=1$$ por lo tanto se puede escribir $$\fbox{$\color{red}{-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\frac{d\vec E_{+}}{d q}-\frac{d\vec E_{-}}{s}}$}$$

que es la RHS de $(\mathrm{c})$.

Answer 2

(a) una onda electromagnética tiene una $B+/B-\,\hat y$ de campo magnético oscilante exactamente en fase con y perpendicularmente a un campo eléctrico $E+/E- \, \hat x$ que son perpendiculares a la dirección de propagación $\hat z$.

(b) es la ley de Faraday en forma diferencial $\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}= -\vec \nabla \times \vec E$

(c) es la aplicación de la regla de la cadena.