Si $A_i$ es un subconjunto compacto de un espacio métrico $(X_i,d)$ donde es compacto en $i = 1,2$ $A_1 \times A_2$ para mostrar que $X_1 \times X_2$.

Question

Si $A_i$ es un subconjunto compacto de un espacio métrico $(X_i,d)$ donde es compacto en $i = 1,2$ $A_1 \times A_2$ para mostrar que $X_1 \times X_2$.

Prueba: Deje ${(a_n ,b_n)}$ ser cualquier secuencia en $A_1 \times A_2$. $a_n $ $A1$ Tiene un subsequence convergente $a{ni} \to a$ y tomando la secuencia $b{n_i}$ $A2$ tenemos un subsequence convergente $b{n{i{j}}} \to b$ y $a{n{i_{j}}} \to a$. Así el ${(a_n ,bn)}$ de la secuencia tiene un subsequence convergente $(a{n{i{j}}},b{n{i_{j}}} ) \to (a,b)$. Por lo tanto es compacto en $A_1 \times A_2$ $X_1 \times X_2$.

¿Es correcta mi trabajo??

Answer 1

Poco cuidado con respecto a los sufijos.

Si ${a_{ni}}$ es un subsequence convergente de ${a{n}},$ ${b_{n_i}}$ no necesita ser un subsequence convergente de ${bn}.$ por lo tanto, buscamos el subsequence convergente de ${b{ni}}$di ${b{n_{ik}}},$ entonces finalmente el subsequence $$\left{\left(a{n_{ik}}, b{n_{i_k}}\right)\right} $$ of ${(a_n, b_n) } $ hará el trabajo.

Answer 2

Sí, se ve bien para mí!

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Si quieres trabajar desde el abierto de la definición de conjunto de compacidad, usted podría razonar de esta. Deje $\mathcal{U}$ ser una cubierta abierta de a $X\times Y$. Para cada una de las $x\in X$, por la compacidad de $Y$ hay un número finito de subcover $\mathcal{U}_x$ $\mathcal{U}$ que cubre $\{x\}\times Y$. Para cada una de las $x\in X$, vamos a $U_x\subset X$ ser la intersección de las proyecciones de los bloques abiertos en $\mathcal{U}_x$.

Tenga en cuenta que por la construcción de la fibra de la proyección del mapa sobre $U_x$ está contenido en la unión de $\mathcal{U}_x$.

Ahora, por la compacidad de $X$, se puede elegir un número finito de $x_1,\ldots,x_n\in X$ tal que $\cup_k U_{x_k} = X$. La colección de $\cup_k \mathcal{U}_{x_k}$ es ahora de un número finito de subcover de $X\times Y$. Esto es debido a que para cualquier $(x,y)\in X\times Y$, $x\in U_{x_k}$ para algunos $k$. Desde $U_{x_k}$ es la intersección de las proyecciones, el conjunto $\{x\}\times Y$ está contenido en la unión de $\mathcal{U}_{x_k}$, y por lo $(x,y)$ está contenida en uno de los conjuntos de $\mathcal{U}_{x_k}.$

(Este es el teorema de 26.7 de Munkres. Gracias a Brian M. Scott para la captura de mi descuidada respuesta y me obligó a revisar el punto de set con más cuidado.)