Prueba de que una secuencia que converge a cero tiene una subsecuencia cuya serie es convergente

Question

¿Cómo podría probar que si$a_n$ es una secuencia real tal que$\lim_{n\to\infty}|a_n|=0$, entonces existe una subsecuencia de$a_n$, que llamamos$a_{n_k}$, tal que$\sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ es convergente.

Creo que puedo elegir los términos$a_{n_k}$ de manera que sean términos de una serie geométrica, por lo que eso significa que convergerá, pero no sé cómo declararlo formalmente.

Answer 1

Tu idea es buena. Puede elegir$a_{k_1}$ tal que$|a_{k_1}|<1/2$. Luego, seleccione$k_2>k_1$ para que$|a_{k_2}|<1/4$, y seleccione inductivamente${k_n}>{k_{n-1}}$ tal que$|a_{k_n}|<1/2^n$.

Answer 2

Comienza con una serie que sabes que es convergente. Una serie geométrica funcionará como has adivinado. Usaré la serie$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ para mi ejemplo. Elija cada$a_{n_{k}}$ tal que$\left|a_{n_{k}}\right|\leq \frac{1}{n_k^2}$ para algún entero$n_k$. Deberá probar que puede encontrar infinitos de estos$a_{n_{k}}$. Una vez que lo sepas, entonces$$\sum_{n=1}^\infty \left|a_{n_{k}}\right|\leq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k^2} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ Hence, $$\sum_{n=1}^\infty a_{n_{k}}$ $ es una serie absolutamente convergente.