Encontrar todos los posibles valores de $a^3 + b^3$ $a^2+b^2=ab=4$.
De $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(4-4)=(a+b)0$. Entonces sabemos que $a^3+b^3=0$. Si $a=b=0$, es conflicto con $a^2+b^2=ab=4$. Si $a\neq0$ y $b\neq0$ y $a$ y $b$ deben ser uno positivo y uno negativo. Esto contradice con $ab$ = 4.
No sé la solución.
Cualquier ayuda por favor.
No hay ninguna solución en los números reales.
Trazado $a^2+b^2=4$ en un gráfico, tenemos un círculo de radio 2. Trazado $ab=4$ en el mismo gráfico, se obtiene una hipérbola que pasa por $(2,2)$ (con el lado negativo de ir a través de $(-2,-2)$) que no intersecta con el círculo.
Una etiqueta de "matemáticas recreativas" normalmente no me hacen ir en busca de soluciones complejas a menos que se desprende de la instalación. Sin embargo Lythia's respuesta identifica correctamente que las opciones en el plano complejo se limita a $a$ $b$ la elección de la $6^{th}$ raíces de $-64$. Desde $ab=4$, $a$ y $b$ debe ser complejos conjugados. El $a^2+b^2=4$ requisito, además, significa que $a$ $b$ no puede ser $\pm 2i$, dando las cuatro pares de $a=\pm \sqrt 3\pm i$$b=a^*$.
Permitiendo compleja $a$ $b$ rescata a la pregunta original de análisis y restablece la respuesta de $a^3+b^3 = 0$.
Para dar una perspectiva diferente, no puedo encontrar en cualquier lugar en el enunciado del problema que los estados $a$ $b$ debe ser real. Por lo tanto, asumen $a,b \in \mathbb{C}$. Entonces la ecuación de $a^3+b^3=0$ junto con la condición de $ab=4$ implica que, al multiplicar ambos lados por cualquiera de las $a^3$ o $b^3$ que $a^6+64 = 0$$b^6+64=0$. Por lo tanto, $$ a = \pm\sqrt[6]{-64} = \pm2\sqrt[6]{-1},\\ b= \pm\sqrt[6]{-64} = \pm2\sqrt[6]{-1}.$$ Como $a$ $b$ son múltiplos de sexto raíces de la unidad, hay seis opciones para cada uno. No todas las opciones son válidas, ya que la condición $a^2+b^2=4$ también debe ser cumplido. Por ejemplo $$a=b=\sqrt{3}+i$$ no funciona desde entonces $a^2+b^2=4+4\sqrt{3}i$. Sin embargo, la elección $$a=\sqrt{3}+i, b=\sqrt{3}-i$$ funciona bien.
Se da que $a^{2} + b^{2} = ab =4$ y el objetivo es determinar todos los valores de $a^{3} + b^{3}$. Ahora, se observa que el $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2}) = 0$. Hasta ahora se convierte en el sistema de ecuaciones\begin{align} a^{3} + b^{3} &= 0 \ a^{2} + b^{2} &= 4 \ ab &= 4. \end {Alinee el} de la primera, multiplicar por $a^{3}$ $0 = a^{6} + (ab)^{3} = a^{6} + 2^{6}$ que produce $a = \pm 2 e^{\pi i/6 \pm 2n \pi i}$ de obtener. Desde entonces, $ab=4$ rendimientos $b = \pm 2 e^{-\pi i/6 \pm 2n\pi i}$. En ambos casos $n \geq 0$. Los posibles valores de $a$ son\begin{align} a \in { 2 e^{\pi i/6 + 2n \pi i}, 2 e^{\pi i/6 - 2n \pi i}, - 2 e^{\pi i/6 + 2n \pi i}, - 2 e^{\pi i/6 - 2n \pi i} } \end {Alinee el} y para $b$\begin{align} b \in { 2 e^{-\pi i/6 + 2n \pi i}, 2 e^{-\pi i/6 - 2n \pi i}, - 2 e^{-\pi i/6 + 2n \pi i}, - 2 e^{-\pi i/6 - 2n \pi i} } \end{align} a la vista de estos dos conjuntos de valores se observa que los conjuntos deben tomarse en el orden de los signos, es decir el conjuntos de $(a, b) \in {(+,+), (-,-)}$, \begin{align} a^{3} + b^{3} &= 2 (\pm 2)^{3} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \ a^{2} + b^{2} &= 2 (\pm 2)^{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \ ab &= (\pm 2)^{2} = 4. \end {alinee el}
Como se ha observado, una manera de abordar este problema es resolver las ecuaciones sobre los números complejos, y, a continuación, comprobar directamente que $a^3+b^3=0$ en todos los casos. Sin embargo, es a la vez útil y más generales a observar que la conclusión puede ser alcanzado sin llegar a la solución de las ecuaciones: desde $a^2+b^2=a b$, tenemos
$(*)\ \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-a b + b^2)=0.$
El problema tiene sentido sobre cualquier campo -- de hecho, en cualquier anillo conmutativo con $1$ (esta condición es sólo necesario para que el "$4$" tiene sentido.) Además de ser simple, una ventaja de la solución de $(*)$ es que funciona independientemente de la configuración. Esto es relevante, ya que el problema no especificar un dominio para $a$$b$, por lo que una solución basada en el cálculo de las raíces en un contexto particular, implica una suposición inherente.
Por ejemplo, en el campo de ${\Bbb F}_{37}$ (es decir, los enteros mod $37$), las ecuaciones tienen las cuatro soluciones $(a,b)$=$(9,21)$, $(16,28)$, $(21,9)$, y $(28,16)$. Se puede comprobar que $a^3+b^3=0$, en cada caso, pero usted es nuevo al cuadrado uno cuando se enfrentan con ${\Bbb F}_{61}$.
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