Algebraicas QFT tiene alguna manera de tratar con Haag y teorema de la interacción de la imagen?

Question

En la Teoría Cuántica de campos, a menudo se necesita para calcular el $n$-punto de las funciones de correlación $\omega_n(x_1,\dots,x_n)$, lo que se ha dado tradicionalmente como vacío expectativa de valores

$$\omega_n(x_1,\dots,x_n) = \langle \Omega | T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rangle.$$

En orden a ello hay, que yo sepa, dos enfoques principales, con dos de los principales problemas que, en realidad, invalidar estos dos enfoques matemáticamente:

1. El primer enfoque es establecer una relación entre la interacción de los campos de $\phi(x)$, el vacío $|\Omega\rangle$ y su libre la teoría de las contrapartes $\phi_0(x)$$|0\rangle$. Esto se logra mediante el cambio a la interacción de la imagen. La cuestión aquí es: Haag teorema afirma que esto no se puede hacer - la central unitaria de transformación que lleva a la interacción de la imagen no existe.

2. El segundo enfoque es el de derivar el Schwinger-Dyson ecuación. Esto se hace en Mateo Schwartz libro. Esto no utilizar la interacción de la imagen, pero todavía hace una suposición falsa: se asume que el canónica relaciones de conmutación son obedecidas por la interacción de los campos, que yo sepa, no es cierto.

Ahora Algebraicas de la Teoría del Campo Cuántico parece un buen enfoque para QFT. En este artículo de Robert Wald da una introducción al tema, y parece que los problemas no existen en absoluto.

Mi pregunta aquí es: en relación con la cuestión con la interacción entre la imagen y Haag teorema, o la Schwinger-Dyson ecuación contraparte basado en la canónica de conmutación relación Algebraicas de la Teoría Cuántica de campos da ninguna solución para lidiar con $n$-funciones de punto de rigor?

¿AQFT permite relacionar la $n$-funciones de punto para la expansión perturbativa en términos de los campos libres en la foto como los diagramas de Feynman en una manera rigurosa? O se da de una manera totalmente diferente para calcular el $n$-funciones de punto?

Lo AQFT realidad se resuelve en esta materia?

Answer 1

Algebraica de la teoría cuántica de campos (AQFT) "acuerdos" con la interacción de la imagen sólo en la medida en que sus axiomas son lo suficientemente fuertes como para no necesitar la noción de interacción foto formalmente definir un QFT.

El primer problema es que casi ninguna de cuatro dimensiones que interactúan QFT tenemos es conocido por tener una formalización como un AQFT, en el sentido de Haag-Kastler, o en el sentido de Wightman.

El segundo problema es que AQFT no inherentemente contienen ningún procedimiento para calcular el Wightman funciones (también conocido como n-funciones de punto). Usted tiene una muy buena lista de axiomas, y uno incluso puede mostrar la Wightman reconstrucción teorema de que un conjunto de campos que obedecer la Wightman axiomas corresponden bijectively con conjuntos de Wightman funciones, es decir, las funciones de correlación de determinar la teoría completamente. Pero lo que no puedes hacer es escribir un procedimiento para calcular el Wightman funciones de los axiomas. Uno puede mostrar un montón de casitas de propiedades de la Wightman funciones, como bien definedness de la Mecha de rotación (llamado el Osterwalder-Schrader teorema), la simetría CPT, en el grupo de descomposición y más, pero la lista de axiomas no basta para determinar la Wightman funciones - que no es realmente una sorpresa, ya que se supone que debe de ser un axiomatisation de una clase de teorías, así que debe haber alguna entrada de izquierda a especializarse para un determinado QFT.

Y ahí es donde se completa el círculo: En muchos casos, la única forma que conocemos de la obtención de un QFT es por la cuantización de la clásica teoría de campo, que a su vez nos lleva a la cuestión con el formalismo canónico y/o en la ruta integral de todo de nuevo.

En fin, yo diría que la pregunta es algo equivocado: El problema es que no se que no tenemos axiomatizations de QFT que evitar ser matemáticamente no rigurosas. Tenemos, tanto AQFT y FQFT hacer eso. El problema es que nosotros no sabemos realmente cómo producir teorías físicas que cumplan con estos axiomas¹. Sí, AQFTs lidiar con Wightman funciones de rigor. Que no le hace ningún bien al tratar de comprender por ejemplo, el Modelo Estándar porque no podemos mostrar que el Modelo Estándar cumple con cualquier variante de la AQFT axiomas.

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^{1Bueno, eso es una exageración libre de teorías cumplir con ellos, y el trabajo de Glimm y Jaffe contiene una gran cantidad de un bien se define la interacción QFTs en dos y tres dimensiones a través de una bien definida la noción de la ruta integral en estos casos. Desafortunadamente, este programa constructivo de la teoría del campo parece que actualmente no se puede ser ampliada a las dimensiones superiores, o más "incómodo" teorías como la no-Abelian medidor de teorías.}