¿Por qué está bien definido $\deg(f)$?

Question

Si $M$ y $N$ son variedades orientadas $n$-dimensionales, compactas y sin frontera, y $f:M\to N$ es suave, entonces si $\omega_0$ es una $n$-forma en $N$ y $\int_N\omega_0\neq 0$, existe un número $a$ tal que $\int_M f^*\omega_0=a\int_N\omega_0.

De hecho, si $\omega$ es cualquier $n$-forma en $N$, entonces $\int_M f^*\omega=a\int_N\omega. ¿Cómo sabemos que es el mismo $a$ para cualquier $\omega$?

Answer 1

Supongamos que $M$ está orientado, es compacto y $\partial N=\emptyset$. Todas las $n$-formas en $N$ son cerradas, y por el teorema de Stokes, $\int_N\partial \eta=0$ para cualquier forma exacta, de modo que el mapa $$\int_N:\Omega^n(N)\to\Bbb R$$ se factoriza automáticamente a través del isomorfismo $$\int_N:H^n_{dR}(N)\xrightarrow{\sim\,}\mathbb R\,.$$ La conclusión que estás buscando se deduce del hecho de que el mapa lineal $f^*:H^n_{dR}(N)\to H^n_{dR}(M)$ es una multiplicación por algún número real (en realidad un entero) $a$.

Answer 2

Primero, es un teorema bien conocido que si $M$ es una $n$-variedad orientable y conectada sin frontera, entonces $H^n_c(M)\simeq\mathbb{R}$. Dado que tus variedades son compactas, $H^n_c(M)=H^n(M)$, siendo este último el grupo usual de cohomología de de Rham. Este es un espacio vectorial $\mathbb{R}$ de dimensión $1$.

Por el teorema de Stokes, $\displaystyle\int_N\omega_0\neq 0$ implica que $\omega_0$ no es exacta, por lo que su clase de cohomología $[\omega_0]$ abarca $H^n(N)$. Sea $\omega\in\Omega^n(N)$. Entonces $[\omega]=c\cdot[\omega_0]$ para algún $c$, o $\omega-c\omega_0=d\eta$ para alguna $(n-1)$-forma $\eta.

Ahora supongamos que $$ \int_M f^\ast\omega=b\int_N\omega $$ para algún $b$. Quieres demostrar que $b=a$. Si $c=0$, entonces $\omega$ es exacta, por lo que $\int_N\omega=0$, y podemos simplemente establecer $a=b$. Si $c\neq 0$, entonces $$ bc\int_N\omega_0=b\int_N\omega-d\eta=b\int_N\omega=\int_Mf^\ast\omega=\int_Mf^\ast(c\omega_0+d\eta)=c\int_Mf^\ast\omega_0=ca\int_N\omega_0. $$ Dado que $c\neq 0$ y $\displaystyle\int_N\omega_0\neq 0$, la cancelación muestra que $a=b$.