Calcular $\sum_{j=1}^k\cos^n(j\pi/k)\sin(nj\pi/k)$

Question

Calcular la serie

$\sum_{j=1}^k\cos^n(j\pi/k)\sin(nj\pi/k)$

Sugerencia: la respuesta está en el hecho de 0

Answer 1

Recordemos que $\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2$$\sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2i$, por lo que su suma se puede escribir como

$$\sum_{j=1}^k\biggl[\frac{e^{j\pi i/k}+e^{-j\pi i/k}}2\biggr]^n\,\biggl[\frac{e^{nj\pi i/k}-e^{-nj\pi i/k}}{2i}\biggr]\,.$$

Aplicar el teorema del binomio en el primer factor (de cada sumando) su suma se convierte en

$$\begin{align*} &\,\frac1{2^{n+1}i}\sum_{j=1}^k\sum_{r=0}^n\binom nr\bigl(e^{j\pi i/k}\bigr)^r\bigl(e^{-j\pi i/k}\bigr)^{n-r}\,\bigl[e^{nj\pi i/k}-e^{-nj\pi i/k}\bigr]\\[2mm] &\,\frac1{2^{n+1}i}\sum_{r=0}^n\binom nr\sum_{j=1}^k\bigl[e^{2rj\pi i/k}-e^{2j(r-n)\pi i/k}\,\bigr]\,. \end{align*}$$

Ahora $\sum_{j=1}^ke^{2rj\pi i/k}$ es la suma de una progresión geométrica, con suma es igual a

$$e^{2r\pi i/k}\frac{e^{2rk\pi i/k}-1}{e^{2r\pi i/k}-1}=0\,,$$

debido a $e^{2r\pi i}=1$; del mismo modo,

$$\sum_{j=1}^ke^{2j(r-n)\pi i/k}=e^{2(r-n)\pi i/k}\frac{e^{2(r-n)k\pi i/k}-1}{e^{2(r-n)\pi i/k}-1}=0\,,$$

y así, todo el interior de la sumandos anteriores son igual a $0$.

Answer 2

Sugerencia: por simetría $\sum (\zeta+\zeta^{-1})^n\zeta^n=\sum (\zeta+\zeta^{-1})^n\zeta^{-n}$ $\zeta$ se suman a lo largo de la $k$th raíces de $1$.