Mostrar vectores abarca un espacio vectorial por definición

Question

Necesito demostrar que los vectores $v_1 = \langle 2, 1\rangle$ y $v_2 = \langle 4, 3\rangle$ span $\mathbb R^2$ por definición. Por definición, si puedo escribir cualquier vector en $\mathbb R^2$ como una combinación lineal de $v_1$ y $v_2$ entonces los vectores abarcan $\mathbb R^2$ . ¿Cómo puedo mostrar esto? Esto es lo que he estado trabajando:

1. Dejemos que $v_x = \langle c_1, c_2\rangle$ sea cualquier vector en $\mathbb R^2$ donde $c_1$ y $c_2$ están en $\mathbb R$ .
2. $v_x = c_1\langle 1, 0\rangle + c_2\langle 0, 1\rangle$
3. Set $v_x$ = una combinación lineal de $v_1$ y $v_2$ ? ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Lo que tiene que demostrar es lo siguiente:

$$\forall\,v:=(a,b)\in\Bbb R^2\,\,\,\exists\,x,y\in\Bbb R\,\,\,s.t.\,\, v=x(2,1)+y(4,3)\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow \text{the linear system}\,\,\left\{\begin{array}{}2x+4y=a\\{}\\\;\;x+3y=b\end{array}\right.$$

tiene una solución para cualquier $\,a,b\in\Bbb R\,$

Ahora, el sistema anterior siempre tiene una solución (y, de hecho, una único para cada elección de $\,a,b\in\Bbb R\,$ ) ya que el determinante de la matriz de coeficientes reducida es $\,2\cdot 3-1\cdot 4=2\neq 0\,$ y voilá.

Answer 2

Queremos demostrar que cualquier $\mathbf{v} = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ puede escribirse como $v = a\mathbf{v_1}+b\mathbf{v_2}$ . Esta ecuación puede escribirse más explícitamente así: $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}$ porque $\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$ y $\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}$ . Nos gustaría demostrar que no importa lo que $(x,y)$ es, siempre hay $a,b$ que satisfagan la ecuación anterior.

Así que vamos a hacerlo. Esta ecuación es una ecuación vectorial, así que en realidad son dos ecuaciones. Podemos separarla:

$$ \begin{align} 2a+4b &= x \\ a+3b &= y \end{align} $$

Recuerde que las incógnitas aquí son $a$ y $b$ . $x$ y $y$ puede ser cualquier cosa; de hecho, queremos demostrar que no importa lo que $x$ y $y$ son, hay $a$ y $b$ que satisfagan estas ecuaciones. Si decimos $A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3\end{pmatrix},\ \mathbf{w} = \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix},\ \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ . Este sistema de ecuaciones puede escribirse más sucintamente como $A\mathbf{w} = \mathbf{x}$ . De nuevo, recuerde que lo desconocido es $\mathbf{w}$ no $\mathbf{x}$ .

Sabemos que este sistema tiene una solución $\mathbf{w}$ por cada $\mathbf{x}$ si y sólo si $\det(A) \neq 0$ . Si podemos demostrar eso, habremos demostrado que no importa qué $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ elegimos, hay $a,b$ tal que $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}$ . Le dejo este cálculo a usted.

Answer 3

Si puede demostrar que $\langle 1,0\rangle$ y $\langle 0,1\rangle$ pueden escribirse como combinaciones lineales de $v_1$ y $v_2$ y luego combinar ese hecho con las afirmaciones 1 y 2, sería suficiente.

En general, si se puede demostrar que todos los elementos de una base conocida se pueden escribir como combinaciones lineales de un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces se deduce que dicho conjunto también es una base.

Answer 4

Bueno, supongamos que $e_1=\langle 1,0\rangle$ y $e_2=\langle 0,1\rangle$ --es decir, $\{e_1,e_2\}$ es la base ordenada estándar para $\Bbb R^2$ . Es fácil ver que $e_2=v_2-2v_1$ y que $e_1=\frac12(v_1-e_2)=\frac12(3v_1-v_2)$ . En ese momento, se puede escribir cada vector en $\Bbb R^2$ de forma única como una combinación lineal de $v_1,v_2$ más o menos como lo has descrito.