Prueba : $|x - y| \leqslant \epsilon$ $\forall \epsilon > 0$ si $x = y$

Question

Tengo que hacer este ejercicio para mi estudio de matemáticas, y estoy teniendo problemas para hacer la segunda parte.

Dejemos que $x, y, \epsilon \in \mathbb{R}$ y $\epsilon > 0$ . Prueba: $|x - y| \leqslant \epsilon$ $\forall \epsilon > 0 \Leftrightarrow x = y$

Creo que tengo la implicación de la izquierda $\Leftarrow$ :

Supongamos que $x = y \Rightarrow x - y = 0 \Rightarrow|x - y| = 0 = |0| \Rightarrow|x - y| = 0 < \epsilon \Rightarrow |x - y| \leqslant \epsilon$ $\forall \epsilon > 0 \in \mathbb{R}$

¿Es correcto este argumento?

Para la implicación correcta, sólo tengo una idea de cómo probarla. Creo que tengo que asumir primero que $x > y$ y luego $x < y$ y obtener una contradicción de ambos.

¿Podría explicarme la implicación correcta y decirme si mi implicación izquierda es correcta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su implicación de la izquierda está bien. Para la implicación de la derecha, si $x\neq y$ , solo toma $\epsilon=\frac{|x-y|}{2}$ para obtener una contradicción.

Answer 2

Dejemos que $x\neq y$ . Entonces demuestre que existe un $\epsilon>0$ tal que $|x-y|>\epsilon$ . (Por ejemplo $\epsilon =\frac{|x-y|}{2}$ que satisface $\epsilon>0$ debido a nuestra hipótesis de partida). El resultado se desprende de la contraposición.

Answer 3

$( \Rightarrow )$ Lo demostraré por contraposición. Nuestra afirmativa dice que:

$$\forall \epsilon > 0 \; ( | x - y | < \epsilon ) \implies x = y$$

El contrapositivo es

$$\lnot ( x = y ) \implies \lnot \forall \epsilon > 0 \; ( | x - y | < \epsilon ) \\ x \neq y \implies \exists \epsilon > 0 \; \lnot ( | x - y | < \epsilon ) \\ x \neq y \implies \exists \epsilon > 0 \; ( | x - y | \ge \epsilon )$$

Por lo tanto, si demostramos el contrapositivo, hemos demostrado la afirmativa. Tenemos que encontrar un $\epsilon \le | x - y |$ .

Dejemos que $\epsilon = \frac{|x-y|}{2}$ , ya que $x \neq y$ sin pérdida de generalidad, dejemos que $x > y$ , lo que implica $x - y > 0$ ya que tenemos $| x - y | = x - y > 0 \implies | x - y | > 0$ .

Por lo tanto, $| x - y | \ge \epsilon = \frac{|x-y|}{2} \implies 2 |x-y| \ge |x-y|$ . Esto es cierto para todos los valores positivos, ya que hemos demostrado nuestra contraposición nuestra hipótesis inicial es válida.

$( \Leftarrow )$ Prueba directa. Sea $x = y \implies x - y = 0 \implies | x - y | = | 0 | < \epsilon \;\;\; \square$