Prueba de la ecuación algebraica

Question

He estado tratando de probar que esta expresión es verdadera, pero no creo que tengo una comprensión adecuada de las reglas de expresiones logarítmicas. Aquí está la expresión:

<span class="math-container">$$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$</span>

Entiendo que <span class="math-container">$a^{\log_a b} = b$</span> (y viceversa), pero debo estar perdiendo algo.

Answer 1

Dos números positivos son iguales si y sólo si sus logaritmos (en la misma base) son iguales.

Calcular el logaritmo en base <span class="math-container">$b$</span> de ambos:

1. <span class="math-container">$\log_b(a^{\log_bc})=\log_b c\log_b a$</span>
2. <span class="math-container">$\log_b(c^{\log_ba})=\dotsb$</span>

Hecho.

Answer 2

Primero Probar y convencer a ti mismo que para $x> 0; y > 0; n > 0; n \ne 1$ entonces $x = y \iff \log_n x = \log_n y$.

Pf: Si $x = y$ entonces $f(x) = f(y)$ para todas las funciones $f$ lo $\log_n x = \log_n y$

Y si $\log_n x = \log_n y = k$ entonces $n^k = x$... y $n^k = y$. Por lo $x = y$.

(Para que esto sea aceptable es ESENCIAL que usted acepta por todos los $n > 0$ e $n \ne 1$ e $x$ luego no existe una única $k$ , de modo que $n^k = x$. Eso en realidad no es trivial y no debe ser tomado como obvio, pero es esencial que este ser demostrado y verificado por la mera definición de logaritmos para incluso tener sentido).

.....

Okays lo $a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \iff \log_b (a^{\log_b c}) = \log_b (c^{\log_b a})$.

Y $\log_b (a^{\log_b c}) = \log_b c\log_b a$ (debido a $\log_n a^m = m\log_n a$).

Y $\log_b (c^{\log_b a})=\log_b a\log_b c$

Y es que.

....

Otra manera de pensar acerca de esto es:

$a^{\log_b c} = (b^{\log_b a})^{\log_b c} = b^{\log_b a\cdot \log_b c}=(b^{\log_b c})^{\log_b a} = c^{\log_b a}$.

Answer 3

<span class="math-container">$$a^{\log_bc}=a^{\frac{\log_ac}{\log_ab}}\ = c^{\frac{1}{\log_ab}}\=c^{\frac{1}{{\left(\frac{\log b}{\log a}\right)}}}\=c^{\frac{\log a}{\log b}}\=c^{\log_ba}$$</span>

La clave de la respuesta se basa en la regla que <span class="math-container">$$\log_xy = \frac{\log_ky}{\log_kx}$ $</span> es la fórmula de cambio de Base.