Evaluación asintótica de la integral de una función algebraica

Question

Me pregunto qué técnicas existen para la evaluación asintótica de integrales. Consideremos la integral $$I(\lambda) = \int_1^\lambda dx \sqrt{1-\frac 1 x} = \sqrt \lambda \sqrt{\lambda - 1}- \cosh^{-1} \sqrt \lambda .$$ De la expresión explícita se desprende que $I(\lambda) \approx \lambda - \frac 1 2\log(4 \lambda) - \frac 1 2$ para grandes $\lambda$ . ¿Podríamos haber encontrado esta solución asintótica sin evaluar explícitamente la integral? Sólo conozco el método del descenso más pronunciado, pero no parece ser aplicable en este caso.

Answer 1

Es mucho más fácil que el descenso más pronunciado: basta con analizar el comportamiento principal del integrando, adivinar de dónde viene la contribución principal y qué forma tiene, restarla e iterar. Llama a $I_1(\lambda)$ su integral : $$I_1(\lambda) = \int_1^\lambda \sqrt{1-1/x}\ {\rm d}x .$$ El integrante es $\sim 1$ como $x\to\infty$ para que $$I_1(\lambda) = \lambda - 1 + \underbrace{\int_1^\lambda (\sqrt{1-1/x}-1){\rm d}x}_{I_2(\lambda)}.$$ Entonces el integrando en $I_2(\lambda)$ es $\sim -1/(2x)$ como $x\to\infty$ para que $$I_2(\lambda) = -\frac12\int_1^\lambda\frac{{\rm d} x}x + \underbrace{\int_1^\lambda \big(\sqrt{1-1/x}-1+1/(2x)\big){\rm d}x}_{J_3(\lambda)}.$$ El integrante en $J_3$ es $O(1/x^2)$ para grandes $x$ Así que $J_3(\lambda)$ converge a una constante como $\lambda\to\infty$ . Escriba $$J_3(\lambda) = \int_1^\infty \big(\sqrt{1-1/x}-1+1/(2x)\big){\rm d}x - \int_\lambda^\infty \big(\sqrt{1-1/x}-1+1/(2x)\big){\rm d}x .$$ Entonces se puede seguir con la expansión asintótica de la misma manera (el integrando es $\sim c/x^2$ , que le da un término de tamaño $c/\lambda$ Es un hecho general que normalmente no se obtendrá una expresión agradable y explícita para el "término constante" de esa manera.