Cálculo con Taylor ' serie s con el resto: $ \lim \limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2+x-2} $

Question

Cómo calcular con serie de Taylor con resto: $$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2+x-2} $ $

¿sin utilizar la regla de L'Hopital?

Aquí es lo que me ha llegado: %#% $ de #% y sé que $$\lim \limits_{x \to 1} \frac{(x-1) + \frac{(x-1)^2 }{2!}+R2(x)}{x^2+x-2}$ (y aquí debo insertar $\lim \limits{x \to 1} \frac{R_n(x)}{(x-1)^n} = 0 $ y utilizarlo de alguna manera para encontrar el límite).
Pero de alguna manera no podría obtener un resultado. Creo que me estoy perdiendo algo esencial aquí. ¿alguien me puede decir si todas las cosas que escribí son verdaderas hasta aquí y tratan de completar la solución de una manera clara?

Answer 1

No necesitará ampliar la $\ln$ hasta $R_2$. Será suficiente para ampliar hasta $R_1$. Para

$$\frac{\ln x}{x^2 + x - 2} = \frac{(x - 1) + o(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1 + o(1)}{x + 2} \to \frac{1}{3}\quad \text{as $x\to 1 $}.$ $

Answer 2

Continuar desde donde lo dejaste, $$\lim_{x\to 1} \frac{(x-1) + \frac{(x-1)^2}{2} + R2(x)}{(x-1)(x+2)} = \lim{x\to 1} \frac{1}{(x+2)} + \frac{(x-1)}{2(x+2)} + \frac{R_2(x)}{(x-1)(x+2)}$ $

El límite del primer término es $1/3$, el segundo límite es $0$.

En cuanto a $\frac{R_2(x)}{(x-1)(x+2)}$ sabemos que $\frac{R_2(x)}{(x-1)^2} \to 0$ y %#% así, #% $

Esto significa que el límite del tercer término es $$\frac{R_2(x)}{(x-1)} = (x-1) \cdot \frac{R_2(x)}{(x-1)^2} \to 0\cdot 0 = 0.$ así. Por lo tanto el límite es de $0$

Answer 3

Observe que $ x^2 + x -2 = (x-1)(x+2)$ luego

$$\lim{x \to 1} \frac{(x -1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + O((x-1)^3)}{x^2 + x -2} = \lim{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{2}(x -1) + O((x-1)^2)}{(x+2)} = \frac{1}{3}$$