Espacio columna y espacio nulo

Question

Deje $A\in M_{5,7}(\mathbb{R})$ ser una matriz tal que $Ax=b$ tiene solución para cada $b$.

Tengo que decir que lo que esta información me dice acerca de la columna - y nulo espacio y filas de una matriz. La única cosa que puedo pensar es que la columna-espacio puede tener dimensión de $1$ a $5$ y el nulo espacio de dimensión, se puede deducir que utilizan rangos de nulidad teorema.

¿Hay algo más que ver aquí?

Answer 1

Espacio de la columna es todo <span class="math-container">$\mathbb{R}^5$</span> desde cualquier <span class="math-container">$b\in \mathbb{R}^5$</span> aparece en el rango de <span class="math-container">$A$</span>. Por lo tanto la fila es 5, y así el teorema del rango-nulidad dice <span class="math-container">$5+\mathrm{nullity}=7$</span>, así <span class="math-container">$\mathrm{nullity}=2$</span>.