Teoría de grupos - Prueba $(a*b)^{-1} = (a^{-1}) * (b^{-1}) $

Question

Estoy tratando de probar la siguiente ecuación, donde $ a,b \in G $ y $(G, *) $ es un grupo.

$(a*b)^{-1} = (a^{-1}) * (b^{-1}) $

Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo hacerlo. He intentado hacer algo como

$(a*b)^{-1} * (a*b) = e = a * a^{-1} * b^{-1} * b $

$(a*b)^{-1} * (a*b) = e = a * (a^{-1} * b^{-1}) * b $

Sin embargo, no puedo conseguir que el RHS $ (a * b)* (a^{-1} * b^{-1}) $ sin asumir la comunitividad.

¿Cómo puedo hacerlo? Se agradece cualquier ayuda.

Gracias

Edición: Teniendo en cuenta esta corrección, ¿sería esto correcto?

$ (a*b)^{-1} * (a*b) = e = a*(b*b^{-1})*a^{-1}$

Entonces

$ a*(b*b^{-1})*a^{-1} = a*b* (b^{-1}*a^{-1}) = (a*b)*(b^{-1}*a^{-1})$

Así,

$ (a*b)^{-1} = (b^{-1}*a^{-1})$

Answer 1

La mayoría de las respuestas anteriores le indican cómo verificar lo que $(a \ast b)^{-1}$ es una vez que lo has encontrado. Por supuesto, todo esto está muy bien si "ya se sabe la respuesta", pero no da ninguna idea de cómo "se encuentra la respuesta". Pero esto es teoría de grupos, y los grupos están en cierto modo "diseñados para resolver ecuaciones". Así que escribamos una ecuación y resolvámosla.

Un inverso para $a \ast b$ es un elemento $x \in G$ tal que:

$(a \ast b) \ast x = e = x \ast (a \ast b)$ . Por lo tanto (utilizando la primera ecuación):

$a^{-1} \ast ((a \ast b) \ast x) = a^{-1} \ast e$

$(a^{-1} \ast a) \ast (b \ast x) = a^{-1}$

$e \ast (b \ast x) = a^{-1}$

$b \ast x = a^{-1}$

$b^{-1} \ast (b \ast x) = b^{-1} \ast a^{-1}$

$(b^{-1} \ast b) \ast x = b^{-1} \ast a^{-1}$

$e \ast x = b^{-1} \ast a^{-1}$

$x = b^{-1} \ast a^{-1}$

Habiendo encontrado lo que cualquier "derecho-inverso" de $a \ast b$ debe ser, y como $G$ es un grupo, debe ser que $x$ es también un inverso de la izquierda, aunque ahora se puede comprobar directamente que $b^{-1} \ast a^{-1}$ también es un inverso de la izquierda.

Answer 2

El problema es que lo que intenta demostrar es falso. La afirmación correcta es $ (a * b )^{-1} = b^{-1} * a^{-1}.$

Answer 3

Para demostrar que $(a\star b)^{-1} = b^{-1}\star a^{-1}$ Todo lo que tienes que hacer es multiplicar $a\star b$ y $b^{-1}\star a^{-1}$ y ver que son inversos entre sí:

$$\begin{eqnarray} (a\star b)\star( b^{-1}\star a^{-1}) & = & \\ a\star ((b\star b^{-1})\star a^{-1}) & = & \\ a\star (e\star a^{-1}) & = & \\ a\star a^{-1} & = & e \end{eqnarray}$$

así que $b^{-1}\star a^{-1}$ es la inversa de $(a\star b)$ .

Answer 4

Asumiendo que su puesto debe ser probado $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ para $a,b \in G$ donde $(G,*)$ es un grupo.

Entonces, por definición de inversa $(a*b)*(a*b)^{-1}=e$ . Entonces, utilizando la inversa de la izquierda y las propiedades asociativas podemos obtener lo siguiente:

$(a*b)*(a*b)^{-1}=e \implies a^{-1}*(a*b)*(a*b)^{-1}=a^{-1}*e \implies (a^{-1}*a)*b*(a*b)^{-1}=a^{-1} \implies e*b*(a*b)^{-1}=a^{-1} \implies b*(a*b)^{-1}=a^{-1}$

Ahora, vuelva a utilizar las inversiones de la izquierda y las propiedades asociativas con $b$ y obtendrá el resultado deseado de $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ .