¿Es la familia de normas equivalentes un espacio localmente compacto?

Question

Consideremos un espacio de Banach de dimensión infinita $(X,||\cdot||)$. Sea $\mathcal{P}$ la familia de todas las normas equivalentes en $X$. Es decir, $p\in \mathcal{P}$ si y solo si $p$ es equivalente a $||\cdot||$, es decir, existen dos constantes $c_1,c_2>0$ tales que $c_1||x||\leq p(x)\leq c_2||x||$ para todo $x\in X$.

$\mathcal{P}$ es un espacio métrico dotado con la siguiente métrica $\rho$:

$$\rho(p,q)=\sup_{||x||\leq 1} \lbrace |p(x)-q(x)|\rbrace$$

$\mathcal{P}$ es un espacio de Baire, visto como un subconjunto abierto del espacio de todas las seminormas continuas en $(X,||\cdot||)$ con la misma métrica $\rho$. Este último espacio es un espacio métrico completo, por lo que por el teorema de la categoría de Baire es un espacio de Baire.

¿Es $\mathcal{P}$ un espacio localmente compacto? - No podemos usar el Lema de Riesz, ya que este espacio no es un espacio lineal, para argumentar en contra de la compacidad local.

Answer 1

No, aquí hay un contraejemplo. Tomemos $X=L^1(\mathbb{R})$, $\|.\|_1$ la norma usual de $L^1$.

Por contradicción, supongamos que $\mathcal{P}$ sea localmente compacto. Entonces existe un vecindario compacto $K$ de $\|.\|$ que también es compacto. Sea $\epsilon>0$ tal que $B(\|.\|_1,2\epsilon)$ sea un subconjunto de $K$.

Definamos para $f \in X$, $$p_n(f)=\int_{\mathbb{R}} |f(t)|\left(1+\epsilon e^{-(t-n)^2}\right)dt.$$

Estas normas son equivalentes a $\|.\|_1$ (con $c_1=1$ y $c_2=1+\epsilon$).

Claramente, $\rho(p_n,\|.\|_1)\leq \epsilon$ y de hecho hay igualdad (considerando una secuencia $(f_k)_k$ de aproximación de la unidad alrededor de $t=n$).

Dado que $p_n \in K$ para cada $n$, se puede extraer una subsucesión convergente. Sin embargo, ninguna secuencia extraída de $(p_n)_n$ es una sucesión de Cauchy: para todo $n$, $$\lim_{m\to +\infty} \rho(p_n,p_m)\geq \epsilon,$$ de nuevo considerando una secuencia $(f_k)_k$ de aproximación de la unidad alrededor de $t=n$. Esto lleva a una contradicción.